Esperance de m/X

[ichigo01]

Salut à tous !

J'ai un loi binomiale négative que j'ai déterminé :


Avec m le nombre de succès, et X le nombre d'essais nécessaires pour obtenir m succès. p est la probabilité d'un succès.
On me demande après de montrer que .



Par je veux dire combinaison de m-1 parmi k-1


Je n'arrive pas à calculer cette somme !

Merci pour votre aide !
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[God's Breath]

Pour , la somme vaut 1.

Pour :



En posant :



et la valeur de doit se déduire des calculs précédents sur une somme similaire.

[ichigo01]

D'accord merci, mais pour p = 1 on aura 1-p = 0 ? !

Edit : et ben non , il ne va rester que le terme de la somme avec k = m, les autres vont s'annuler.

[ichigo01]

et la valeur de doit se déduire des calculs précédents sur une somme similaire.

Je n'arrive pas à calculer cette somme !

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

Oui,

Avec un changement de variable k = j + m et la relation

Merci pour tout !

[ichigo01]

J'obtiens après calcul :


Il semble que ce n'est pas facile de calculer cette intégrale !

[God's Breath]

Je n'ai pas vérifié les calculs...
mais la question est, me semble-t-il, de prouver que ; le calcul explicite de cette espérance n'est peut-être pas nécessaire.