Matrice d'une forme bilinéaire et diagonalisation

[Zenol]

Bonjour,

Je recherches quelques explications sur un aspect des formes bilinéaires que je n’arrive pas à bien cerner.

Si l'on prend un endomorphisme , de matrice , alors on peut construire la forme bilinéaire sur par

La matrice de dans les bases canoniques et est donc, si je ne fait pas d'erreurs, .

Par contre, si l'on diagonalise dans la base avec une matrice de passage , alors la matrice obtenus correspond à dans les bases donné par les vecteurs colonnes de et .

Quel est le rapport de cette diagonalisation d'un endomorphisme avec la diagonalisation de la forme bilinéaire ? (Car, si j'ai bien comprit, on veux une matrice tel que soit diagonale)
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[mimo13]

Salut,

Si l'on prend un endomorphisme , de matrice , alors on peut construire la forme bilinéaire sur par

Pourquoi prendre une forme linéaire ?
Généralement, avec fixé, on construit une forme bilinéaire de vers définie par

Et dans ce cas, oui la matrice de u dans une base de est la même que celle de dans la même base.

Par contre, si l'on diagonalise dans la base avec une matrice de passage , alors la matrice obtenus correspond à dans les bases donné par les vecteurs colonnes de et .

Sincèrement, je ne vois pas où vous voulez en venir, vous diagonalisez alors que ce n'est pas toujours possible, et même si c'est le cas, ce n'est pas forcément dans une base orthonormée....(à moins que vous parlez d'endomorphisme symétrique)

La forme bilinéaire que j'ai donné plus haut, a toujours la même matrice de u dans n'importe quelle base.

[God's Breath]

Généralement, avec fixé, on construit une forme bilinéaire de vers définie par

Euh... c'est quoi, ?

[Garf]

Salut,




Pourquoi prendre une forme linéaire ?
Généralement, avec fixé, on construit une forme bilinéaire de vers définie par

Et dans ce cas, oui la matrice de u dans une base de est la même que celle de dans la même base.

En fait, non (je soupçonne que ma critique va juste expliciter ce que veux dire God's Breath). Enfin, pas toujours.

Si appartient à , et si on pose , alors envoie un élément de (ici, ) dans le corps de base . C'est donc bien une forme linéaire sur .

Même en dimension finie, je pense qu'il vaut mieux voir les choses sous cet angle. Si et sont des vecteurs colonnes de , et si , alors la forme bilinéaire associée va s'écrire :

L'un des deux arguments de la forme bilinéaire est donc un vecteur ligne, "moralement" un élément du dual.

Alors, soit, en dimension finie et dans des espaces de Hilbert, on peut identifier l'espace avec son dual, et donc avoir des formes bilinéaires ayant une telle expression. Mais c'est faux (enfin, pas forcément, mais c'est nettement plus bancal) dans le cas général.

Morale de l'histoire : ne pas confondre crochet de dualité (bra-ket) avec un produit scalaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zenol]

Ah oui, j'oubliais, ce que l'on note en cours est .

Pourquoi s'enquiquiner avec des formes linéaires plutôt que des vecteurs? Bonne question, les profs doivent adorer nous faire souffrir

Je suppose que vous vouliez écrire ?

En fait, c'est une partie d'un exercice, et u est bien diagonalisable, mais pas du tout symétrique. J'ai justement l'impression qu'une base de diagonalisation de u ne peu pas m'aider beaucoup à trouver une base de diagonalisation de b. Le problème, c'est que la question est "En déduire(déduire de ) une base tel que la matrice de soit diagonale dans les bases "

Petite précision, l'une des questions était de montrer que l’application linéaire à droite associé est la composé de par l'isomorphisme canonique de dans . (Ce qui ma permit de me convaincre que la matrice de b dans est bien ) Peut-être cela devrais me donner un indice sur ce que je peut faire avec , mais je ne vois pas.

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Grillé par Garf.
Je pense que c'est le point de vue des enseignants, mais il faut quand même avouer que si on nous avais dit tout de suite qu'en dimension finie, un élément de E* est un vecteur ligne, on aurai tout de suite mieux saisit. De même avec la recherche d'une base antéduale / base duale.