Dm Spé Maths sur nombre de Fermat

[invite56f88dc9]

Bonsoir j'ai un dm sur les nombres de Fermat.
641 divise 5⁴ +2⁴ *2²⁸ .
Le devoir est composé de 3 parties (partie A définiton+propriétes, partie B Comment Euler a démontré qui 641 divise F₃ et Partie (Ecriture décimale des nombres de Fermat).)
Je suis un peu bloqué sur la partie B :
2) Démontrer que 641 divise 2³² +f⁴ *2²⁸ .
3) Démontrer que 5*2⁷ +1 divise 5²*2¹⁴ -1.

Pour la 2 je pense qu'il y a une histoire de congruence mais je ne vois pas la mise en forme. Et pour la 3 je ne vois pas comment démarrer du tout .

Merci de bien vouloir m'aider.
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[invite56f88dc9]

Personne ne veut me répondre

[invitea47878d8]

ouh la, t'affoles pas, c pas que personne veut répondre mais t'avoueras que c'est pas le plus simple, comme ça, de but en blanc, et sans même avoir vu la 1e partie... ben c'est pas évident, d'autant que, comme je le vois (et c'est peut etre un probleme d'affichage), je ne vois ni la definition de F3, ni celle de f.
Et puis, j'ai une ou deux questions:
- "641 divise 5⁴ +2⁴ *2²⁸" : pourquoi on simplifie pas en 2³² le deuxième membre? Tu es sur de ton équation?
- "5*2⁷+1", ça fait 641. Tu es sûr de ne pas pouvoir te servir des questions 1 et 2 pour la faire celle là? Souvent on te fait faire ce genre de trucs avant pour te mettre sur la bonne voie de raisonnement... (mais je suppose que tu le sais déjà vu ton niveau actuel...)

Quoi qu'il en soit, pour la deux (et sachant que mes souvenirs de maths sont lointains), pourquoi ne pas:
1) simplifier le divisé par ton 2^28 (vu que 641 n'est pas divisible par 2 à vu de nez donc tu peux factoriser et voir si le reste est divisible par 641)
2) vérifier si 641 est un nombre premier ou non (tu m'excuseras mais j'ai la flemme juste là)
3) tenter une décomposition en nombres premiers de ton truc (ou te faut-il quelque chose de plus compliqué?)

Voili voilou..

++

Kiko

[martini_bird]

Salut,

641 divise 5⁴ +2⁴ *2²⁸ .

ça s'écrit plutôt: 5 divise (5⁴+2⁴).2²⁸

2) Démontrer que 641 divise 2³² +f⁴ *2²⁸

Il suffit de développer: (5⁴+2⁴).2²⁸=5⁴.2²⁸+2³². (J'imagine que ton f était un 5...)

3) Démontrer que 5*2⁷ +1 divise 5²*2¹⁴ -1.

Il suffit d'utiliser une bonne vieille identité remarquable...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

Bonsoir et merci pour vos réponses.
J'aurais préféré que vous me donniez juste une petite piste et pas le résultat en entier.

[martini_bird]

Bonsoir et merci pour vos réponses.
J'aurais préféré que vous me donniez juste une petite piste et pas le résultat en entier.

Crois bien que je le regrette!

Bonne soirée.

PS: si tu veux un exo du même acabit, tu sais à quelle porte frapper.

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai encore quelques problèmes avec mon dm.
Dans la partie A :
on sait que F_n = 2^(2^n)+1 (nombre de Fermat).
J'ai montré que F_n+k -1=(Fn-1)^(2^k) et j'ai démontré que F_n+k est congrue à 2 mod Fn.

Par contre je n'arrive pas à montrer que pour m différent de n, F_m et F_n sont premiers entre eux.
Pouvez vous m'aider.

[martini_bird]

Salut,

Par contre je n'arrive pas à montrer que pour m différent de n, F_m et F_n sont premiers entre eux.

Je pense que tu veux dire que si m et n sont premiers entre eux, alors F_m et F_n sont premiers entre eux (2 est différent de 4 mais F₂ divise F₄).

[invite56f88dc9]

Je nne suis pas sur d'avoir compris ta question.
Dans l'énoncé il y a marqué :
Montrer alors que, pour m différent de n, F_m et F_n sont premiers entre eux.

[martini_bird]

Salut,

Je pense que tu veux dire que si m et n sont premiers entre eux, alors F_m et F_n sont premiers entre eux (2 est différent de 4 mais F₂ divise F₄).

Je n'ai rien dit: j'ai fait une confusion. Désolé.

[invite56f88dc9]

Vous n'avez pas d'idée ????

[leg]

Vous n'avez pas d'idée ????

bonjour as tu regarder sur le site

www.les-Mathematiques.net

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Les nombres de Fermat

Philippe Bailleul nous invite à découvrir les nombres de Fermat et quelques une de leurs jolies propriétés dans cet article très abordable.
Ceux que l'arithmétique intéressent et qui voudraient aller plus loin pourront aller faire un tour sur l'excellent cours de Bernhard Keller.


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Le cours de Bernhard Keller


[ le : 2005-01-23]