Analyse combinatoire: dénombrement-permutations-arrangements-combinaisons

[snakes1993]

Bonjour chez camarade

Je dois rendre ce devoir conséquent pour ma période.Mais je ne suis pas sure de mon raisonnement.

1) un restaurant propose cinq entrée,huit plats et six desserts. Combien de menu différents de 3 services peut-on proposer?

c 'est bien un arrangement ?

2) De combien de manières, peut-on accrocher 9 tableaux l'un à côté de l'autre à un mur.

a) Sans restriction
b) Si un tableau précisé est au millieu
c) Si deux tableaux précisés sont au extrémités
d) Si deux tableaux précisés doivent être ensemble
e) Si deux tableaux précisés ne peuvent être ensemble

la a) c est une permutation ? la b) on supprime 1 puis on permute ?

3) Combien de nombres de 3 chiffres différents peut-on former à l'aide des 6 chiffres 2,3,5,6,7,9

a) sans restriction
b) Si les nombres doivent être supérieur à 400
c) Si les nombres sont pairs
d) Si les nombres doivent être multiples de 5

la a) c est tout simplement un arrangement ? après je sais pas comment faire et expliquer que le 1er chiffre doit être le 5 au moins ...

4) Une délégation de 5 syndicalistes doit être choisie pour représenter l'usine à un congres. Treize membres (4 femmes et 9 hommes) étant éligibles, de combien de manière peut-on former le délégation sachant que:

a) 2 des membres se refusent à participer ensemble
b) 2 des membres exigent d'être ensemble s'ils sont élus
c) La délégation doit être mixte

5) De combien de façon peut-on ranger sur une étagère 6 livres de mathématique, 4 de français,5 de physique et 3 d'anglais.

a) sans restriction
b) Si les livres de chaque spécialité doivent rester groupé
c) Si les livres de mathématique seulement doivent rester groupés

Merci pour vos explication
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[chlorydrique]

Bonjour,

je propose:

1. principe de multiplication:
5x8x6

2.a)oui: 9! (principe de permutation)
b)oui: 8!
c)par exemple les tableaux 1et 2 doivent être ensemble: ils peuvent être en position 1,2 ou 2,3 ou ... ou 8,9: 8 possibilités et restent 7! manières de ranger les 7 autres:
7x8! (principes: multiplication et permutation)
d)par ex 1 et 2 ne peuvent être ensemble: c'est le contraire de 1 et 2 doivent être ensemble:
donc 9! - 7x8! (principe de complémentarité)

3)a) 6x5x4 (arrangement ou principe de multiplication)
b) le 1er nombre doit être 5,6,7 ou 9:
4x5x4
c)le chiffre des unités doit être 2 ou 6
en commençant par le chiffre des unités:
2x5x4
d) le chiffre des unités doit être égal à 5:
1x5x4

4)a) je calcule le complémentaire, à savoir le nombre de délégations possibles contenant les deux personnes : il y a 3 autres personnes à choisir parmi 11:
donc: C(13;5)-C(11;3)
b)ces deux membres, il y a C(13;2) possibilités de les choisir;
une fois choisis, il reste 3 membres à choisir parmi 11
C(13;2)xC(11;3)
c) passage au complémentaire: les délégations uniquement composées d'H: C(9;5); celles uniquement composées de F: 0
donc: C(13;5)-C(9;5)

5)a)18!
b)les spécialités sont: M,F,P,A; elles peuvent être rangées selon l'une des 4x3x2x1 possibilités
dans chacun des cas, il y a 6! manières de ranger les livres de M, 4! manières de ranger les livres de F, 5! manières de ranger les livres de P,3! manières de ranger les livres d'A,
donc: 4x3x2x1x6!x4!x5!x3!
c)les livres de M peuvent être rangés en position 1 ou ... ou 13, les autres livres (il y en a 12) peuvent être rangés irgendetwas,
donc: 13x6!x12!
donc 13x6!x

[snakes1993]

et la 2b) ? mais j 'ai pas bien comprit quand les tableaux doivent être ensemble :ss

[snakes1993]

Vous pouvez parler en langage des combinaison linaire j'ai du mal à vous suivre :ss

[A voir en vidéo sur Futura]

[chlorydrique]

bonsoir ss, oui, j'ai oublié 2)c) !

Je vais numéroter les places des tableaux de 1 à 9 (de la gauche vers la droite) et appelez les tableau A,B, ..., I
Si deux tableaux précisés sont aux extrêmités:
ces deux tableaux, appelons-les A et B. Ils peuvent être rangés comme ceci: A en 1 et B en 9 ou A en 9 et B en 1. Cela fait 2 possibilités. Restent 7 tableaux à placer, à 7 places. Il y a 7! manières de les placer (7! est le nombre de permutations d'un ensemble à 7 éléments, ou le nombre de manières de ranger 7 objets à 7 endroits, d'où le mot arrangement peut-être).
donc réponse: 2x7!

Concernant le nombre de possibilités de rangement quand 2 tableaux précisés sont ensemble:
Supposons que ces tableaux soient les tableaux A et B. Ils peuvent être rangés comme ceci:
AB.......
ou
.AB......
ou
...
ou
.......AB
Cela fait 8 possibilités. Non, cela en fait 16, car on peut aussi les mettre dans l'ordre BA, et donc je me suis trompé hier soir! (je m'excuse). Restent à chaque fois 7 tableaux à ranger dans les 7 places restantes: il y a 7! manières de les ranger dans les places restantes.
Donc la réponse est: 16x7!

(en plus hier j'ai écrit 7x8! au lieu de 8x7! , je comprends que vous vous soyez étonné).

J'espère que je n'ai pas fait d'autres erreurs, j'étais un peu fatigué hier soir ...

Tenez-moi au courant et si vous voulez, je fais un récapitulatif des principes à connaître, en essayant d'avoir un vocabulaire rigoureux.

[snakes1993]

je n'arrive pas à comprendre avec vos multiplications :ss dans le 3
comment vous choisissez seulement le 5... et vous l appliquer dans le calcule

[snakes1993]

les spécialités sont: M,F,P,A; elles peuvent être rangées selon l'une des 4x3x2x1 possibilités

j ai pas comprit pourquoi

[chlorydrique]

3)d)On démontre en arithmétique que les nombres multiples de 5 se terminent (en base 10) par un chiffre égal à 0 ou 5. On n'a pas le 0 ici, on n'a que 5, donc pour répondre à d) on doit dénombrer tous les nombres possibles de 3 chiffres qui se terminent par 5. Comme il n'y a qu'un 5 et qu'il doit se placer en troisième position (position des unités) , il suffit donc de dénombrer les nombres de possibilités de placer les chiffres restants (soit 2,3,6,7 et 9) en position des centaines et des dizaines. Il y a 5x4 possibilités: en position des centaines il y a 5 choix, et un choix ayant été fait, il y a ensuite 4 possibilités pour les chiffre des dizaines.

5) quand les livres doivent rester grouper par spécialité (M,F,P,A), le spécialités peuvent appraître sur l'étagère (mettons de la gauche vers la droite) dans l'ordre MFPA ou dans l'ordre MPFA etc. Combien cela fait de possibilités? pour la spécialité la plus à gauche il y a 4 choix. Un choix ayant été fait, il y a 3 choix pour la spécialité qui va suivre etc., c'est pourquoi cela fait en tout 4x3x2x1 manières de disposer les spécialités. Ensuite on compte combien de possibilités il y a de ranger les livres de chaque spécialité ...