valeur reelle de cos(pi/7)

[invitedce53bef]

Bonjour
calculer une valeur exacte reelle de est possible en passant par la racine du polynome et en exprimant cos(5x) en fonction de cos(x)

malheureusement, avec et en reutilisant la meme methode via le binome de Newton et la formule de moivre, on arrive sur un polynome du 3eme degré
si je detaille et si je n ai pas fait d erreur de calcul ou de recopiage


avec

avec
donc a priori est une racine de ce polynome du 3eme degré
Les 3racines, je pense sont reelles et non complexes donc y aurait il un moyen de trouver une solution reelle a
?
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[Jeanpaul]

Un petit calcul numérique te permettra de vérifier si ton équation est juste (car tu connais cos(pi/7) )
Ensuite, quand 7 x = pi/2 + k pi alors x ne vaut pas ce que tu as écrit.

[invitedce53bef]

oui excuse moi cela vaut plutot ( je n arrive pas a oter le i a cote du symbole pi)
Par contre je ne vois pas ce que tu veux dire en disant que je connais cos(pi/7) ?

[martini_bird]

Salut,

donc a priori est une racine de ce polynome du 3eme degré

Non, en raison du changement de variable, il s'agit de (les deux autres racines étant et ).

Tu pourras en déduire la formule convoitée à l'aide de celle de de Cardan.

Note : cela ne remet pas en cause le fait qu'il est impossible de construire un heptagone régulier à la règle et au compas (mais il s'agit sans doute d'une autre histoire).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

oui excuse moi cela vaut plutot ( je n arrive pas a oter le i a cote du symbole pi)
Par contre je ne vois pas ce que tu veux dire en disant que je connais cos(pi/7) ?

Ce que j'ai voulu dire, c'est qu'avec une calculette, tu peux vérifier que ton équation est juste : le cosinus est donné avec une excellente approximation et tu peux vérifier que ça colle.

[invitedce53bef]

@ Jean Paul : merci d avoir explicité ton conseil

@ MartiniBird : oui exact merci de corriger
utiliser la formule de cardan en passant par un polynome de 3eme degré donne des racines réels ? Je vais essayer de l appliquer, mais c est un peu fastidieux...
N y a t il pas des programmes qui transforment les polynomes de 3eme degré de la forme en polynome de la forme
avec et