sinx et ses tracas !!!

[VIOLON]

Bonsoir à tous .

J'ai une petite inégalité que je n'arrive absolument pas à démontrer :
Pour tt x appartenant [0,pi/2], sinx>=(2/pi)x .
Les cas d'égalités sont bateaux mais pour l'inégalité je ne sais pas d'où partir!!! ( car si on encadre sinx , il est entre 0 et 1 , et je n'arrive pas à la manipuler pr retrouver l'inégalité en question )


Merci pr votre aide

[GuYem]

Sin est une fonction concave sur [0,pi/2], et comme tu l'as dit aux bornes il y a égalité...

[VIOLON]

je suis désolé mais je ne vois toujours pas pourquoi en montrant que sin est concave (cela veut bien dire que sin est en dessous de ttes ses tges en [O; pi /2] on prouve l'inégalité?

[robert et ses amis]

tu connais la définition d'un convexe?
c'est exactement cela, et ça te donne ton inégalité.
Pour montrer que ton sinus est concave (ie "l'inverse" de convexe), il suffit de constater que sa dérivée seconde est négative sur l'intervalle.

[Jeanpaul]

Plus simple : tu peux étudier la variation de sin(x) - (2/pi) x

[the strange]

bonjour
je propose une autre methode graphique
sinx est derivable en 0 et le dérivé vaut 1
la droite y=x est tg a sa courbe en 0
toutes les droites y=ax tel que a<1 vont couper la courbe de la fonction sinx pour une certaine abscisse t et on aura sinx>=ax pour x€[0,t] vous voyez
comme par exp y=(2/pi) qui va couper la courbe de sinx pour x=pi/2
donc
sinx>=(2/pi) x pour x€[0,pi/2]
as required
il me semble que ma methode n'est pas convaincante
non?

[Jeanpaul]

L'idée est là mais le "vous voyez" n'est pas une vraie démonstration. On a déjà vu... des illusions d'optique.

[GuYem]

L'idée est là, c'est la concavité qui permet de justifier ton "vous voyez"

[the strange]

d'accord vous avez raison
je vous ai dit "vous voyez" car il s'agit d'une methode graphique
d'une représentation graphique a imaginer
u see what l mean

[The Artist]

belle démo géométrique moi j'aurai attaqué avec l'analyse

[VIOLON]

slt !!
En fait la méthode géométrique me semble quelque peu compliqué .
Je suis plus habitué à la méthode analytique . Mais j'ai encore des difficultés ! J'ai étudié la différence f(x)= sinx-2/pix en dérivant cette fonction ( cosx-2/pi) . Mon premier pb est qd j'ai tracé f sur ma calculatice je ne la trouve pas positive sur [0,pi/2], je me suis trompé ?
Autre pb, cette fois ci qd j'ai tracé la dérivée je la trouve + sur [o,pi/2] et - sur [pi/2;0], ce qui me semble étrange !!

Merci de me sortir de ce mauvais pas !!!

[VIOLON]

en fait je dois avoir recours à une dérivée seconde , non ?

[nissart7831]

Bonjour,

Tu n'as pas besoin d'étudier la dérivée seconde. Je ne sais pas comment tu as programmé ta calculatrice, peu importe, mais la courbe de est bien positive sur
Pour t'en persuader, trace dans le même repère la fonction sin et la fonction qui à x associe . Tu constateras que la fonction sin est au dessus de l'autre sur , donc f(x) est bien positif sur cet intervalle.

Maintenant passons à la démonstration.
Je ne vais pas tout te dire mais étudie le signe de f'(x) sur cet intervalle et déduis-en les intervalles où f est croissante ou décroissante. Puis en prenant la définition de la croissance et de la décroissance d'une fonction, en l'appliquant aux intervalles correspondants et en utilisant le fait que , tu peux conclure.

[VIOLON]

en effet , en étudiant juste la dérivée je peux prouver que la fct est positive .
Merci pr votre aide
Au fait

[indian58]

Plus simple : tu peux étudier la variation de sin(x) - (2/pi) x

Pas d'accord; la démonstration utilisant la concavité est beaucoup plus simple et agréable.