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sinx et ses tracas !!!

  1. VIOLON

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    35

    sinx et ses tracas !!!

    Bonsoir à tous .

    J'ai une petite inégalité que je n'arrive absolument pas à démontrer :
    Pour tt x appartenant [0,pi/2], sinx>=(2/pi)x .
    Les cas d'égalités sont bateaux mais pour l'inégalité je ne sais pas d'où partir!!! ( car si on encadre sinx , il est entre 0 et 1 , et je n'arrive pas à la manipuler pr retrouver l'inégalité en question )


    Merci pr votre aide


     


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  2. GuYem

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Poitiers
    Âge
    33
    Messages
    2 132

    Re : sinx et ses tracas !!!

    Sin est une fonction concave sur [0,pi/2], et comme tu l'as dit aux bornes il y a égalité...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
     

  3. VIOLON

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    35

    Re : sinx et ses tracas !!!

    je suis désolé mais je ne vois toujours pas pourquoi en montrant que sin est concave (cela veut bien dire que sin est en dessous de ttes ses tges en [O; pi /2] on prouve l'inégalité?
     

  4. robert et ses amis

    Date d'inscription
    janvier 2005
    Localisation
    lyon
    Âge
    30
    Messages
    497

    Re : sinx et ses tracas !!!

    tu connais la définition d'un convexe?
    c'est exactement cela, et ça te donne ton inégalité.
    Pour montrer que ton sinus est concave (ie "l'inverse" de convexe), il suffit de constater que sa dérivée seconde est négative sur l'intervalle.
     

  5. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : sinx et ses tracas !!!

    Plus simple : tu peux étudier la variation de sin(x) - (2/pi) x
     


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  6. the strange

    Date d'inscription
    avril 2004
    Âge
    26
    Messages
    246

    Re : sinx et ses tracas !!!

    bonjour
    je propose une autre methode graphique
    sinx est derivable en 0 et le dérivé vaut 1
    la droite y=x est tg a sa courbe en 0
    toutes les droites y=ax tel que a<1 vont couper la courbe de la fonction sinx pour une certaine abscisse t et on aura sinx>=ax pour x€[0,t] vous voyez
    comme par exp y=(2/pi) qui va couper la courbe de sinx pour x=pi/2
    donc
    sinx>=(2/pi) x pour x€[0,pi/2]
    as required
    il me semble que ma methode n'est pas convaincante
    non?
     

  7. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : sinx et ses tracas !!!

    L'idée est là mais le "vous voyez" n'est pas une vraie démonstration. On a déjà vu... des illusions d'optique.
     

  8. GuYem

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Poitiers
    Âge
    33
    Messages
    2 132

    Re : sinx et ses tracas !!!

    L'idée est là, c'est la concavité qui permet de justifier ton "vous voyez"
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
     

  9. the strange

    Date d'inscription
    avril 2004
    Âge
    26
    Messages
    246

    Re : sinx et ses tracas !!!

    d'accord vous avez raison
    je vous ai dit "vous voyez" car il s'agit d'une methode graphique
    d'une représentation graphique a imaginer
    u see what l mean
     

  10. The Artist

    Date d'inscription
    septembre 2004
    Localisation
    Strasbourg
    Âge
    35
    Messages
    614

    Re : sinx et ses tracas !!!

    belle démo géométrique moi j'aurai attaqué avec l'analyse
     

  11. VIOLON

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    35

    Re : sinx et ses tracas !!!

    slt !!
    En fait la méthode géométrique me semble quelque peu compliqué .
    Je suis plus habitué à la méthode analytique . Mais j'ai encore des difficultés ! J'ai étudié la différence f(x)= sinx-2/pix en dérivant cette fonction ( cosx-2/pi) . Mon premier pb est qd j'ai tracé f sur ma calculatice je ne la trouve pas positive sur [0,pi/2], je me suis trompé ?
    Autre pb, cette fois ci qd j'ai tracé la dérivée je la trouve + sur [o,pi/2] et - sur [pi/2;0], ce qui me semble étrange !!

    Merci de me sortir de ce mauvais pas !!!
     

  12. VIOLON

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    35

    Re : sinx et ses tracas !!!

    en fait je dois avoir recours à une dérivée seconde , non ?
     

  13. nissart7831

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    2 179

    Re : sinx et ses tracas !!!

    Bonjour,

    Tu n'as pas besoin d'étudier la dérivée seconde. Je ne sais pas comment tu as programmé ta calculatrice, peu importe, mais la courbe de est bien positive sur
    Pour t'en persuader, trace dans le même repère la fonction sin et la fonction qui à x associe . Tu constateras que la fonction sin est au dessus de l'autre sur , donc f(x) est bien positif sur cet intervalle.

    Maintenant passons à la démonstration.
    Je ne vais pas tout te dire mais étudie le signe de f'(x) sur cet intervalle et déduis-en les intervalles où f est croissante ou décroissante. Puis en prenant la définition de la croissance et de la décroissance d'une fonction, en l'appliquant aux intervalles correspondants et en utilisant le fait que , tu peux conclure.
     

  14. VIOLON

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    35

    Re : sinx et ses tracas !!!

    en effet , en étudiant juste la dérivée je peux prouver que la fct est positive .
    Merci pr votre aide
    Au fait
     

  15. indian58

    Date d'inscription
    juin 2005
    Âge
    27
    Messages
    1 913

    Re : sinx et ses tracas !!!

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Plus simple : tu peux étudier la variation de sin(x) - (2/pi) x

    Pas d'accord; la démonstration utilisant la concavité est beaucoup plus simple et agréable.
     


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