montrer que ]0,+infini[² est ouvert dans R²

[invitec1942a00]

Bonjour,

j'ai un exercice qui consiste à montrer que : ]0,+infini[² est ouvert dans R²
pour ce faire, nous avons pris une boule(a,r) avec r = min (a1,a2) et donc a = (a1,a2)
je me demande si lorsque l'on a a1=a2, x pris dans la boule appartient à ]0,+infini[² car on ne prend que l'interieur de la boule et pas le "tour" ??
car le "tour" de la boule toucherait l'axe des x et celui des y non ? et donc dans ce cas cela ne fonctionnerait pas ?
je ne suis pas très sûre...

de plus jai du mal à voir que ||x-a||<a1 et ||x-a||<a2
et de même pour ||x-a||>=|x1-a1| et ||x-a||>=|x2-a2|
avec x=(x1,x2)

Merci de votre aide
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[invitec1942a00]

je pense que l'on pris dans cet exemple une boule ouverte car "<" dans :
nous avons noté : montrer que si ||x-a||<r alors x1>r et x2>0

grossierement : est ce que lorsque l'on prend une boule ouverte, on ne prend pas les "bords" de la boule
et lorque l'on prend les bords de la boule c'est une boule fermée ?

et pour montrer qu'un intervalle est ouvert devons nous obligatoirement utiliser une boule ouverte ?
je ne vois pas trop quand utiliser la boule ouverte et quand utiliser la boule fermée et si cela a-t-il une incidence ?

désolée pour toutes les questions^^

merci beaucoup !

[Tryss]

grossierement : est ce que lorsque l'on prend une boule ouverte, on ne prend pas les "bords" de la boule
et lorque l'on prend les bords de la boule c'est une boule fermée ?

C'est ça, et lorsque l'on ne précise pas, une boule est généralement une boule ouverte

pour montrer qu'un intervalle est ouvert devons nous obligatoirement utiliser une boule ouverte ?

On peut aussi utiliser les boules fermées, puisque toute boule ouverte contient une boule fermée. Ceci dit, généralement on utilise des boules ouvertes.

je ne vois pas trop quand utiliser la boule ouverte et quand utiliser la boule fermée et si cela a-t-il une incidence ?

Tout dépend du problème. Ici ça n'a pas vraiment d'importance à condition de prendre un r < min(a1, a2) (par exemple r= 1/2min(a1, a2))

de plus jai du mal à voir que ||x-a||<a1 et ||x-a||<a2
et de même pour ||x-a||>=|x1-a1| et ||x-a||>=|x2-a2|

Pour la première question, c'est parce que x est dans B(a,r), donc par définition, on a ||x-a||<r. c'est à dire:

||x-a||<min(a1,a2), donc ||x-a||<a1 et ||x-a||<a2

Pour la 2ème question, il faut bien voir quelle norme on choisi. Vu que toutes les normes sur R^2 sont équivalentes, on peut choisir la plus simple. Ici c'est ||u|| = max(|u1|, |u2|).
On a alors naturellement ||x-a|| = max(|x1-a1|, |x2-a2|)

Donc ||x-a|| <= |x1-a1| et ||x-a|| <= |x2-a2|

[invitec1942a00]

merci beaucoup

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