Un probleme de primitive

[Evandar29]

Bonjour a tous,

Je coince vraiment sur le début d'un exo :

L'objet de ce problème est de résoudre deux équations différentielles d'ordre 3, linéaires, homogènes et à coefficients constants.

Soit n appartenant au naturels. Si f est une fonction n-fois dérivable, on note f⁽ⁿ⁾ la dérivée n-ième de f.

Soit (u,v) appartenant a R². On propose de déterminer une primitive des deux fonctions définies sur R :

h1(t)=cos(vt)e^ut
h2(t)=sin(vt)e^ut

1°) Déterminer une primitive sur R de h(t)=e^(u+iv)t
2°)En déduire une primitive de h1 et h2.

Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait cool
Merci d'avance
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[God's Breath]

1. En fait est une constante, et tu dois connaître les primitives de .

2. Exprime en fonction de et de .

[Evandar29]

Je ne comprends pas vraiment ...
La primitive d'une constante a serait ax, ca veut dire que la primitive de h(t) est e(axt) soit e((u+iv)x)t ?

[God's Breath]

Peux-tu primitiver ? ? ? ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Evandar29]

Ah oui excuse moi ^^'
Ca fait 1/2 e(2t), 1/5 e(5t), -e(-t) et -1/3 e(-3t)

Donc la primitive de h(t) est H(t)=1/(u+iv) * e((u+iv)x)t ?

Sinon pour la question 2 j'ai honte mais je ne trouve pas non plus ... J'imagine qu'il faut mettre h1 et h2 au carré de facon a pouvoir eliminer les sinus et cosinus mais après (avec sin²x+cos²x =1) je ne vois pas...

[Tryss]

Non, il faut utiliser le fait que e^it = cos(t)+i sin(t)

[Evandar29]

On a donc :
h1=cos(vt)*(cos(ut)+i sin(ut)) soit 1/2 [(cos(u-v)+cos(u+v)]+ i/2 [sin(u+v)-sin(u-v)]
h2=sin(vt)*(cos(ut)+i sin(ut)) soit 1/2 [sin(u+v)-sin(u-v)] + i/2 [cos(u-v)+cos(u+v)]

Et il faut avoir h(t)=e(u+iv)t soit cos(u+iv)t+i sin(u+iv)t ....

Il faut faire h1+h2 ?

PS : Le résultat que j'ai donn pour la question 1 était le bon ?