Suite arithmético-géométrique

[Jon83]

Bonjour!

Soit la suite telle que et

Comment démontrer que ????
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[invite4b03bb8f]

Par récurrence sur l'entier n

[Snowey]

Ce n'est pas la seule façon pour ce type de suites très classiques (vues dans mon cours en tout cas). On peut même montrer que la suite récurrente définie par pour n naturel et a différent de 1 s'écrit de façon explicite pour tout n naturel.

Deux méthodes me viennent à l'esprit:
1: la recherche de points fixes de la fonction . Cette fonction, lorsqu'elle admet des points fixes, n'en admet qu'un seul donné par (donc pour a différent de 1 !). On a alors, pour x différent du point fixe par f, .
Bref, en posant , on a , soit, si tu poses , la suite est géométrique: d'où le résultat cherché.

2: Poser la suite auxiliaire . On déduit .On a, après un rapide calcul de sommation téléscopique, .
On a alors, par l'identité géométrique, ce qui donne aussi le résultat.



Tu peux appliquer ces deux méthodes pour démontrer le résultat dans ton cas . Tu verras d'ailleur qu'avec la seconde méthode des simplifications apparaissent ^^ Tu as bien

Amicalement

[invite6cf1de63]

En moins théorique, la première méthode de Snowey consiste à construire une suite géométrique à partir de .

On peut remarquer astucieusement que :
Ce qui fait que est une suite géométrique de raison .

Il suit alors que : et donc


PS : La valeur particulière est le fameux point fixe .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Oui, désole si je suis reste un peu théorique ! C'était surtout pour montrer que ces méthodes sont utilisables (et utilisées) pour toutes les suites de ce type
Et leur avantage est simple: on ne donne pas toujours le résultat a trouver !
Alors, bien que la récurrence soit possible, je pense que comprendre ces méthodes permet un plus large éventail de possibilités face a un exercice (et peut meme donner des pistes pour d'autres).

[Tryss]

En voici une autre (un peu originale).

On remarque que Un+1 est une fonction affine de Un, on peut donc mettre le système sous forme matricielle :



Donc par récurrence,


On peut calculer la puissance de la matrice "facilement" car elle est diagonalisable, et on trouve :


A noter que cette méthode permet de résoudre des suites linéaires beaucoup plus tordues :


La forme matricielle est alors :


Et il me semble qu'elle à le bon gout d'être diagonalisable (dans C), même si son expression est atrocement moche On pourrait donc donner une expression de Un, Vn en fonction de n, U0, U1, V0 et V1

[Snowey]

Waw !
C'est très largement d'un autre niveau ^^

[Jon83]

Merci à tous pour vos participation!
J'ai l'embarra du choix....