Inversion geometrique

[Snowey]

Bonjour, ma question est toute simple: existe t'il un lien entre l'inversion géométrique (qui transforme notamment certains cercles en droites et vice versa) et la puissance d'un point M par rapport a un cercle ?
-----

[danyvio]

Il n'y a pas de relation évidente. Attention toutefois à l'ambiguïté due au vocabulaire : quand on est dans le domaine de l'inversion, on parle de "puissance d'inversion", et non de "puissance d'un point par rapport à un cercle".

[Snowey]

Mais qu'est ce qu'une puissance d'inversion alors ? Le rapport de celle ci ?
En tout cas, si je raisonne avec la puissance Ρ d'un point Ω par rapport a un cercle C donne ne passant pas par Ω, on aura pour tout point M du cercle la relation scalaire MΩ.M'Ω=P avec M' le point du cercle aligne avec M et Ω, n'est ce pas ? Cette relation sera de plus vraie pour tout les points du cercle.
Ne peut on pas alors dire, par exemple, que le cercle C est invariant globalement par l'inversion de centre Ω et de rapport P ? C'est sans doute une remarque inutile, mais j'aimerais bien savoir si elle est correcte ou non.

[Snowey]

En fait je suis meme tenté d'aller plus loin, et de dire que l'inversion de centre Ω et de rapport P fixe les cercles distants de D de Ω et dont le rayon vaut racine(P-D^2) !
Je parviens a cette conclusion en utilisant le fait que la puissance de Ω par rapport a un cercle du plan est constante et égale a D^2-R^2 avec R rayon du cercle et D distance du centre du cercle au point Ω.
Qu'en pensez vous ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

La puissance du point par rapport à un cercle est définie par : , et étant les points d'intersection, éventuellement confondus, du cercle et d'une droite quelconque passant par .

Dans l'inversion de pôle et de puissance , l'image d'un point , distinct de est le point de la droite tel que : .

Il y a un rapport formel par l'intervention du produit dans les deux cas, d'où la similitude du vocabulaire, qui permet d'avoir des énoncés simples, par exemple : le cercle est invariant dans l'inversion de pôle et de puissance .

[Snowey]

C'est bien ça !
Génial, c'est bien la première fois que je trouve une "propriété" tout seul ! Oui, oui, c'est évident... Mais quand meme ^^
merci beaucoup !

PS: on en déduit alors qu'une inversion conserve une infinité de cercles, ou encore que tout cercle est invariant par une infinité d'inversions ... Des résultats sans nul doutes inutiles, n'est ce pas ? ^^

[Snowey]

Et puis-je alors me servir de ce résultat pour démontrer que si un point et son image par une inversion sont sur un meme cercle alors ce cercle est globalement invariant par f ?
Sinon, comment le démontrer rigoureusement (j'aimerais bien que tu m'expliques comment rédiger cette démonstration God's Breath, s'il te plait).

[God's Breath]

Il suffit de dire que, les points , et étant alignés, le point appartient au cercle si, et seulement si, , qui est justement la définition de : est l'image de par l'inversion de pôle et de puissance .
Cette dernière égalité est le seul «rapport» existant entre la puissance d'un point par rapport à un cercle et la puissance d'une inversion.

[Snowey]

Donc il vaut mieux éviter d'invoquer la puissance d'un point lorsqu'on étudie les inversions, n'est ce pas ?

[God's Breath]

Pas du tout, si on a besoin de la puissance d'un point par rapport à un cercle, il n'y a aucune raison de ne pas l'invoquer, ce qui n'empêche pas de parler simultanément de la puissance d'une inversion qui intervient dans le problème étudié.