Trouver une suite équivalente (MPSI)

[invite77afed8f]

Bonjour à toutes et à tous!

Je suis nouvelle sur ce forum, alors j'espère ne pas avoir posté au mauvais endroit!

J'ai eu un petit souci en cours hier; je n'ai pas bien saisi comment la prof a pu affirmer :
Soit u(n) une suite de limite nulle.
ln(1+u(n)) ~ u(n)
1-cos(u(n)) ~ ((u(n))^2)/2,

Enfin, ce genre de chose..

De plus, j'ai des exercices à faire, mais là, la limite de u(n) n'est pas précisée..

Je vous donne deux trois exemples :
u(n)=sqrt(n+1) - sqrt(n-1)
u(n)=1/(n-1) - 1/(n+1)

Pourriez vous m'expliquer la méthode? J'ai cru comprendre que c'était avec une histoire de limite en zéro mais... Ça m'a échappé!

Merci d'avance.
-----

[indian58]

Tu sais que ln(1+x)~x quand x tend vers 0. Donc si (un) tend vers 0 alors ln(1+u_n)~u_n au voisinage de l'infini. C'est la même chose pour 1-cos.

et tu fais un DL à l'ordre 1.

[invite77afed8f]

Merci pour ta réponse!

Mais... DL? Ça veut dire quoi ^^'?

[indian58]

Merci pour ta réponse!

Mais... DL? Ça veut dire quoi ^^'?

Développement limité

[A voir en vidéo sur Futura]

[math123]

Tu sais que ln(1+x)~x quand x tend vers 0. Donc si (un) tend vers 0 alors ln(1+u_n)~u_n au voisinage de l'infini. C'est la même chose pour 1-cos.

et tu fais un DL à l'ordre 1.

Bonjour,

Dans ce cas la, il vaut peut-être mieux utiliser l'expression conjugué et on pourra ensuite faire directement un équivalent et on doit trouver normalement
@+

[indian58]

Bonjour,

Dans ce cas la, il vaut peut-être mieux utiliser l'expression conjugué et on pourra ensuite faire directement un équivalent et on doit trouver normalement
@+

Oui en effet tu as raison. Mais comme on dit, tous les chemins mènent à Rome...

[ansset]

plutôt 1/rac(n) non ? soit lim =0

la dernière est évidente en mettant au même dénominateur.

[math123]

Oui en effet vous avez raison.

[invite77afed8f]

En fait, je n'ai pas encore fait les développements limités..
J'ai réussi à comprendre la première partie de ma question, mais je n'arrive pas à résoudre mes exercices!

[God's Breath]

Bonjour,

Il n'y a rien de bien compliqué dans le calcul des équivalents : tu pars d'une suite de terme général , et tu dois trouver une suite de terme général telle que le quotient soit convergent de limite 1.
Il peut être utile de connaître quelques quotients qui sont de limite 1 ; les plus usuels sont :
– qui permet d'écrire pour une suite de limite nulle ;
– qui permet d'écrire pour une suite de limite nulle.

Ton professeur a utilisé la formule : pour en déduire, grâce à la limite précédente : pour une suite de limite nulle.

En utilisant l'expression conjuguée : et est de limite 1, donc : .

Par réduction au même dénominateur : , donc ...

[ansset]

re bonjour,
il n'y a pas de developpment limité à faire.

[invite77afed8f]

Merci beaucoup God's breath d'avoir autant détaillé, tout est clair à présent!
Effectivement, il n'y avait pas besoin du développement limité... C'est vraiment tout bête!

Bonne journée à tous, et merci encore!