Lemme

[Snowey]

Bonjour,
je suis entrain d'essayer de faire une démonstration, mais quel que soit le chemin que je choisis, je tombe toujours sur une impasse.
Aussi je me suis fixé une voie, et voilà un lemme dont j'aurais besoin mais que je ne parviens pas à démontrer:

"On considère le segment AB et deux points distincts de l'espace G,H équidistants de A et de B. La droite passant par G et H est alors une médiatrice du segment AB (i.e tout point M de D est aussi équidistant de A et de B)"

Ce résultat est sans doute simple, mais je ne parviens pas à en "venir à bout".

ATTENTION: Souvent la réponse soit donnée "abruptement", mais je NE VEUX PAS de réponse d'un bloc (quel intérêt pour ma compréhension ?!?). Je demande peut être beaucoup, mais je demande à celui qui me répond de me mettre sur des pistes (je reste connecté, donc presque en direct ^^) dans un premier temps. Si vraiment je ne trouve pas, alors oui, une explication claire me sera nécessaire, mais pas avant que je n'ait mis mes trois neurones à contribution. Aucune raison pour que seuls ceux qui savent répondre réfléchissent, quand même !

Merci beaucoup,
Snowey
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[Tryss]

Idée : Montrer que le lieu des points équidistants de A et B (la médiatrice) est une droite

[Snowey]

Bon, il se trouve justement que j'ai une idée.
Je la soumets, peut être que quelqu'un me dira ce qu'il en est de sa justesse mathématique:

Il suffit en fait de montrer que D est une droite du plan médiateur à A et B. (le plan passant par I et orthogonal à AB)
On considère le point I milieu du segment AB.
GAB est isocèle et sa médiatrice GI est aussi sa hauteur:
De même, .
Mais comment trouver le fait que ?

C'est le plus dur, car une fois l'orthogonalité prouvée, il suffira de montrer qu'un point de la droite appartient au plan médiateur. Or G et H conviennent: la droite sera donc dans le plan médiateur, i.e la droite sera une médiatrice du segment AB considéré et le lemme sera prouvé !
(beaucoup de futurs, mais ils ne dépendent réellement que de cette étape de la démonstration ^^)

[Snowey]

MEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEERCI beaucoup Tryss de me répondre !

Par contre (désolé !) je ne suis pas sur de saisir cette piste.
Ton idée est de montrer:
1) que c'est une droite
2) que les points H et G y appartiennent. (une droite étant définie par deux points distincts, on aura le résultat) ?

Mais gros problème: ce n'est pas vrai !
Ou en tout cas je ne saisi pas ...
Car on parle dans l'espace de plan médiateur, n'est ce pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

1) définition de la médiatrice ( droite qui passe par le milieu de AB et perp à AB )
2) soit G sur la droite voir pythagore pour comparer GA et GB !

[Tryss]

Si tu as 2 points qui appartiennent à un plan, alors la droite qui passe par ces deux points appartient aussi au plan (un plan est un sous-espace affine).

Mais bon, ça suppose que tu sache que le lieu des points équidistants à A et B est un plan

(j'étais parti dans l'idée que tu étais dans un plan pour ma réponse précédente)

[Snowey]

Quel idiot !!!!!!

La démonstration suivante convient-elle ?

On a G équidistant de A et de B donc G appartient au plan médiateur de AB.
De même, H appartient au plan médiateur de AB.
La droite (GH) est donc incluse dans le plan médiateur. Par définition de ce dernier, c'est une médiatrice de AB.

[Snowey]

Ah, je viens de voir ton message Tryss .
En fait tu réponds à ma question avant que je ne la pose !
Pffff...
Vraiment .... excusez moi pour ce sujet. C'est clairement honteux que je n'ai pas vu ça de suite, et que je me sois posé des questions débiles avant.
... Sentiment d'être un boulet, un vrai.

[ansset]

non GH n'est pas forcement ( peu de chance ) médiatrice de AB.
il faudrait qu'elle coupe AB
par contre si I milieu de AB
on peut appeler J la proj perp de I sur la droite GH
On montre facilement que J est equidistant de A et B ( JA=JI+IA et JB=JI+IB ) et JI perp à AB.
reste à finaliser pour tous les points de GH !

[Snowey]

Mais si ! (enfin je crois)
Parce que dans l'espace, cette notion n'est peut être pas aussi claire: on parle d'ailleurs de plan médiateur,et il est vrai que la notion de "médiatrice" évoque l'intersection avec AB mais ce n'est pas forcément la cas dans l'espace !
A moins qu'une définition existe, je définis une médiatrice comme une droite dont tous les éléments sont équidistants de A et de B. Celà revient a dire qu'une médiatrice est une droite du plan médiateur, mais rien de plus.

[ansset]

si tu veux, ( question de définition à priori )
ça ne change pas la proposition à démontrer.
tu avances ?

[Snowey]

Si je suppose que ce raisonnement est juste, j'ai trouvé, non ?

On a G équidistant de A et de B donc G appartient au plan médiateur de AB.
De même, H appartient au plan médiateur de AB.
La droite (GH) est donc incluse dans le plan médiateur. Par définition de ce dernier, c'est une médiatrice de AB.

[ansset]

c'est ok pour moi.
même si la notion de médiatrice était pour moi réservée au plan! ( ce que dit wiki d'ailleurs )
mais suis un vieux maintenant.

[Snowey]

Ahah, non pas vraiment
Et puis je suis désolé d'avoir inventé ce mot pour l'espace, il me semblait bien refléter l'idée.
Merci encore en tout cas.

Y'a pas a dire, c'est bien moi l'idiot dans l'histoire (ne pas trouver ça quand même !!)