ordre d'un sous-groupe quotient

[invite9252fc98]

bonjour
sa fait un moment que je n'arrive pas a saisir le correction d'un exercice en theorie des groupes

enoncé :
soit le groupe vec premier
combien le groupe contient-il :
1-d'éléments d'ordre P
2- d'éléments d'ordre P^2
3- de sous-groupes d'ordre
4- de sous-groupes d'ordre

j'arrive a faire la premiere question, il y a éléments d'ordre .
pour la question 2, il est dit qu'il y a element d'ordre , je n'arrive pas a comprendre le raisonnement, si quelqu'un pourrait m'orientait vers la propriété ou le théorème utilisé sa serait sympa.
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[God's Breath]

Le groupe G a p³ éléments, dont :
– l'élément neutre ;
– p²-1 éléments d'ordre p ;
– p³-(p²-1)-1 autres éléments.
Ce dernier sous-ensemble est constitué des éléments d'ordre p².

[invite9252fc98]

pourquoi est ce que le reste des elements dont l'ordre différent de p serait d'ordre ?

[God's Breath]

Quels sont les ordres possibles pour les éléments de G ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9252fc98]

je sais pas trop, le produit directe n'est pas un groupe cyclique, je sais que l'ordre des sous groupes d'un groupe cyclique divise l'ordre du groupe, mais ce n'est pas applicable dans ce cas !!

[invite2e5fadca]

Le théorème de Lagrange te dit que l’ordre d'un élément divise toujours l'ordre du groupe G. (Idem pour l'ordre des sous-groupes et ceci que G soit cyclique ou non)

[invite9252fc98]

c'est vraie -_-, je vois pas comment j'y ai pas pensé, merci beaucoup a God's breath et a CogetaSS5

[God's Breath]

Plus précisément, pour tout élément (x,y) de G : p²(x,y)=(p²x,p²y)=(0,0), donc l'ordre de (x,y) divise p².
Utiliser l'ordre p³ de G est insuffisant.