Gödel, Church, Von Neuman, Turing...

[Galuel]

Bonjour,

Je m'intéresse aux travaux de Gödel, dont j'ai vu qu'ils ont été repris par Church, Von Neumann, Turing aussi sans doute. Je cherche un ouvrage qui donne le cadre et les démonstrations les plus simples et les plus abouties sur ces sujets. J'ai pu consulter la démonstration dans cet ouvrage, c'est très bien, et j'aurais voulu trouver quelque chose de comparable, mais peut-être "plus à jour", peut-être mieux formalisée ou plus simplifié, si cela existe.

Voilà je cherche un conseil sur le ou les meilleurs ouvrages sur le sujet.
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[Médiat]

Bonjour,

Je ne connais pas mieux que le livre de NAGEL (avec quelques petites restrictions sur la contribution de Girard).

Vous pouvez trouvez une démonstration simplifiée quant aux points techniques, mais avec les points clés sont bien présents, là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3845373, à partir de la page 14.

[Galuel]

Vous pouvez trouvez une démonstration simplifiée quant aux points techniques, mais avec les points clés sont bien présents, là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3845373, à partir de la page 14.

Excellent, c'est vraiment bien en effet ! (je suis en train de le lire).

Et il n'y a pas un joli petit livre quelque part qui compilerait cela ?! J'aimerais bien en avoir un !

[Galuel]

Je voudrais discuter de l'argument Diagonal de Cantor relativement aux nombres réels particulièrement. Cet argument est très puissant et le théorème de Gödel en est l'expression vis vis du langage, puisque sa démonstration consiste à coder le langage dans l'arithmétique pour construire la phrase vraie "g : l'assertion de nombre de Gödel g n'est pas démontrable". Et de là s'ensuit l'incomplétude etc...

Or selon l'argument diagonal il est affirmé la non-dénombrabilité des réels.

Mais ceci est un choix très surprenant que je n'accepte pas. Il consiste à mon sens en une interprétation particulière qui n'est ni plus ni moins recevable que "les réels sont dénombrables".

Car selon Gödel justement on ne peut pas dire "l'ensemble des réels est ceci ou cela" sans faire référence à un ensemble de règles qui les définisse. Et cet ensemble étant fini ALORS on peut en effet trouver un argument Diagonal D0, tel que, appliqué à cet ensemble on puisse construire un nouveau nombre, qui n'EST PAS, constitutif de l'ensemble des règles défini. On peut donc légitimement considérer qu'il s'agit donc d'une EXTENSION, et certainement pas d'une "découverte" de nombres réels "préexistants".

Ou autrement dit qu'on a R1, R2, R3 etc... une suite descriptive de nombres, dont on peut dire que Rn est l'ensemble des nombres réels tels que défini par l'ensemble des règles Gn, dont on peut déduire un ensemble inductif de nombres, qui sera forcément toujours incomplet, c'est à dire qu'on pourra toujours construire de nouveaux nombre qu'on pourra appeler "réels" dans un ensemble Rn+1 mais qui ne font pas partie de l'ensemble Rn.

Ainsi si l'on définit après l'ensemble R1 (N) des nombres naturels les relatifs dans R2 (Z) et qu'on ajoute aux règles "l'ensemble des racines des fonctions polynômes", nous avons R3 qui à partir de G3 contient non seulement des nombres rationnels mais aussi des nombres complexes. Ces nombres sont d'une nature différente de R2 et on ne peut pas déclarer légitimement que R3 préexiste à R2, car il s'agit d'un choix extensif particulier qu'on aurait pu choisir autrement en rajoutant une autre règle, comme l'ensemble des limites d'une classe définie, de suites infinies de nombres rationnels en définissant précisément la nature de telles suites.

Mais que plus généralement étant donné un ordonnencement de Rn donné, situé sur un ensemble de nombres premiers de la forme Pn puissance Q puissance M puissance k, où P,Q,M sont premiers, dans l'ordre, et où k est l'ordonnencement dans chaque série de P puissance Q puissance M et où les (Q1,Q2,...,Qln) puissance M représentent la descriptions finie des nièmes règles déductives et au delà la série infinie de dimension 3 des nouveaux nombres ainsi déduits alors...

Pour Dn+1 on peut décrire sur la base des puissances de P(n+1) l'ensemble des règles déductives induites par la définition Dn+1 sur [Q1, )Q2,...,Ql(n+1)] et sur la suite des Q^M de dimension 2 et un par un par chaque diagonalisation obtenue en appliquant récursivement Dn+1 sur Rn pour le premier nombre D(n+1)(1) ainsi obtenu, puis en appliquant Dn+1 sur (Rn,D(n+1)(1),...D(n+1)(n)) pour l'obtention du nième nombre réel ainsi diagonalisé.

On ne peut pas dire alors que la diagonalisation D(n+1) donne un nombre réel qui n'existe pas dans Rn+1, car il n'existe aucun nombre réel de Rn+1 qui ne soit la diagonalisation de (Rn,D(n+1)(1),...D(n+1)(k)) avec lim k->infini de (Rn,D(n+1)(1),...,D(n+1)(k)) = Rn+1 par définition. Donc soit la limite converge dans Rn soit elle ne converge pas, mais dans ce cas elle n'appartient pas à Rn+1, on peut appeler alors cette limite "g(n+1)" et le choix de dire g(n+1) est un nombre réel ou g(n+1) n'est pas un nombre réel consiste à accepter ou non d'inclure une nouvelle diagonalisation D(n+2) sur R(n+1) basé sur une définition qui n'est pas par construction dans R(n+1) qui ne se définit QUE vis à vis de R(n).

Que si l'on voulait inclure une induction de dimension supérieure basé sur la récursivité des règles d'induction elles mêmes, on peut le faire en augmentant la dimension du dénombrement ainsi défini en puissances premières des nombres premiers, mais qu'il est incorrect de partir de la base qu'on puisse considérer R comme étant l'ensemble de toutes les diagonalisations possibles, car cela reviendrait à dire notamment que l'ensemble des nombres complexes est dans R, et que même tout ensemble dimensionnel quelconque possédant des propriétés extensives serait dans R.

Que donc le théorème de Gödel nous invite à la construction progressive bien définie et pas à tenter de façon erronée à penser l'infini sans préciser de quelle façon descriptive il est décrit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06b993d0]

à mon avis tu mélanges un peu les choses, et notamment tu confonds la construction "historique" des réels, comme extension de Q, lui-même extension de Z et in fine de N, et la définition axiomatique des réels, qui "oublie" la première. L'idée que les réels "préexistent" (à quoi d'ailleurs?) n'a pas beaucoup d'intérêt pour l'étude de leurs propriétés.

[Galuel]

L'idée que les réels "préexistent" (à quoi d'ailleurs?) n'a pas beaucoup d'intérêt pour l'étude de leurs propriétés.

Alors non pas du tout. Il n'y a pas de "propriété" à quelque chose qui n'est pas défini.

Il n'y a pas de définition possible sans faire référence à un préexistant qui en soit la base descriptive.

Et enfin il n'y aucune cohérence de quoi que ce soit qui ne soit relative à un ensemble plus vaste qui la définisse.

Penser "le plus vaste" n'est dès lors pas du tout exempt de référence à la base vis à vis de laquelle "plus vaste" est défini et penser "propriété" fait référence à la fois à la base et au plus vaste qui permet de juger ce qui est cohérent et ce qui ne l'est pas, en parfaite incomplétude.

Il y a au moins 3 dimensions à l'analyse correcte et 4 dimensions à l'extension analytique.

[Médiat]

Bonjour,

Je ne suis pas certain de comprendre ce que vous voulez dire, mais ce que j'ai compris c'est que vous voulez appliquer un nombre dénombrable de fois une règle qui génère un nombre dénombrables de nouveaux objets, et vous remarquez que le résultat est dénombrable, c'est exact, mais ce n'est pas la construction des réels. Par exemple la construction par des quotients d'espaces de suites rationnelles de Cauchy étend Q de façon non dénombrable.

[Galuel]

... vous remarquez que le résultat est dénombrable, c'est exact, mais ce n'est pas la construction des réels. Par exemple la construction par des quotients d'espaces de suites rationnelles de Cauchy étend Q de façon non dénombrable.

Ce que je dis est autre chose que cela.

Je dis que si "la construction par des quotients d'espaces de suites rationnelles de Cauchy étend Q de façon non dénombrable" c'est que cette construction est incohérente relativement aux mathématiques dénombrables.

Parce que je ne suis pas en mesure de projeter ces règles dans un espace déductif dénombrable, ces règles ne sont pas des règles permettant de définir ce qui est cohérent et ce qui ne l'est pas et ce sont donc des règles qui se bâtissent hors toute référence à la cohérence d'une base cohérente prédéfinie.

Ce sont des règles qui sont alors à rejeter, ne faisant pas partie du domaine de déduction logique de ce qui est dénombrable et de ce qui ne l'est pas, puisqu'elles ne se réfèrent pas à un ensemble dénombrable de base en tant qu'extension axiomatique diagonal (au sens de Gödel).

De ce fait la question de dire "cette règle donne un résultat dénombrable" ou "cette règle ne donne pas un résultat dénombrable" n'a pas plus de cohérence que "les vaches bon marché sont rares".

C'est un autre espace mathématique non-cohérent avec l'espace qui définit le dénombrable, qui est diagonal avec cette définition et qui donc fait l'objet d'un choix d'extension autre qu'on ne peut comparer de façon cohérente avec le premier.

[invite06b993d0]

Il y a au moins 3 dimensions à l'analyse correcte et 4 dimensions à l'extension analytique.

et au plus?

[Galuel]

et au plus?

Au plus 5. 5 étant la dimension non-conceptuelle, tout ce qui est conceptuellement définissable sur la base du dénombrement s'établit dans au plus 5 dimensions, comprenant tous les langages conceptuels dénombrables.