equations trigonométriques supra

[Zabour]

a) racine 3 cos(x)-sin(x)= -1
j'ai pas réussi à le faire sauf que j'ai développé ceci
racine3cos(x)+ cos au carré (x)=0
avec racine delta= racine 3 (on fait comme si c'était un polynome de second degré avec X=cosx)
d'où cos(x1) = - racine 3 ou cos (x2)=0
ce qui donne x2= pi/2 ou -pi/2
par contre pour x 1 aucune idée

b) 5 cos(x)+ 2 sin(x)= 30
or cosau carré(x)+ sin au carré(x)=1
5 cosx+ 2-2cos au carré(x)-30=0
-2cosaucarré(x) + 5cos(x) - 28=0

or le delta trouvé est négatif, donc je ne sais pas comment trouver le x

c)
cos(3x)-sin(3x)=- racine(3)/2

or cos au carré (3x)- sin au carré (3x)=cos(6x)
d'où sin(3x)= racine[(cosaucarré(3x)-cos(6x)]
cos(3x)-racine[(cosaucarré(3x)-cos(6x)]
= cos(5pi/6)
mais après je ne sais pas comment faire. Si quelqu'un pouvait m'expliquer ce serait gentil
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[NicoEnac]

Bonjour,

Je crois que tu t'emmêles légèrement les pinceaux...

a) racine 3 cos(x)-sin(x)= -1
j'ai pas réussi à le faire sauf que j'ai développé ceci
racine3cos(x)+ cos au carré (x)=0
avec racine delta= racine 3 (on fait comme si c'était un polynome de second degré avec X=cosx)
d'où cos(x1) = - racine 3 ou cos (x2)=0
ce qui donne x2= pi/2 ou -pi/2
par contre pour x 1 aucune idée

Attention ! Tu remplaces sin(x) par cos²(x) or la relation entre sin² et cos² est la suivante : cos²(x) + sin²(x) = 1.
Ton développement est donc faux.

En écrivant ton équation comme suit :

et en te rappelant la formule ne vois-tu pas apparaitre un cosinus et un sinus connu ?

Pour la question b), même erreur que pour la a). Et pour cette question, j'ai trois questions qui t'aideront :
- Quelles sont les valeurs maximum de cos(x) et de sin(x) ?
- Par quelle valeur immédiate peut-on majorer 5.cos(x) + 2.sin(x) ?
- Quelles conclusions en tirer quant à l'équation ?

[Zabour]

j'ai réussi pour le a et le b par contre le c je suis arrivé à cos (pi/4-3x)= -racine6/4
mais je ne sais pas comment continuer. j'avais cos(3x)-sin(3x)= -racine3/2 au départ

[NicoEnac]

Peux-tu écrire tes réponses pour le a) et le b) ? Pour vérifier si tu as compris.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Sinon, pour la c), tu as juste excepté le signe devant "3x". n'étant pas un cosinus connu, il faut recourir, il me semble, à la fonction arccos.

[Zabour]

pour a c'est pi/2 pour le b pas de solution car cos(x-O)=30/racine29
or le cos doit être inférieure à 1 ici c'est supérieur

[Zabour]

pour la question d
cosx(cosx-sinx)=1
en déveleppant
cos au carré(x)-cosxsinx=coscarréx+sincarréx
sinx(sinx+cosx)=0
d'où sin x=0 x= 0 ou -pi
et sinx=-cos x
et c'est là que je ne trouve pas.
Diable mais c'est que ce n'est pas si facile que ça ces équations et dire que j'en ai jusqu'à j!

[NicoEnac]

pour a c'est pi/2 pour le b pas de solution car cos(x-O)=30/racine29
or le cos doit être inférieure à 1 ici c'est supérieur

Pour la a), ta solution n'est pas complète :

De là, on tire que .
Tu as oublié que cos(x) = y (avec |y| <=1) possède 2 solutions modulo 2pi.

Pour la b), ok pour ta solution même s'il suffisait de dire que pour tout x, cos(x) <= 1, sin(x) <= 1 => 5.cos(x) + 2.sin(x) <= 5+2 = 7 donc 30 n'est pas une valeur atteignable. Que trouves-tu pour la c) (n'oublie pas cette fois la double solution) ?

[NicoEnac]

pour la question d
cosx(cosx-sinx)=1
en déveleppant
cos au carré(x)-cosxsinx=coscarréx+sincarréx
sinx(sinx+cosx)=0
d'où sin x=0 x= 0 ou -pi
et sinx=-cos x

Je ne l'aurais pas fait ainsi, mais ta solution semble correcte. Justifier ensuite que les solutions (pourtant évidentes) de sin(x) = - cos(x) me parait difficile(mais quelqu'un pourrait penser autrement).

Pour ma part, j'aurais transformé cosx - sinx en utilisant cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb, puis j'aurais transformé cos(x).cos(...), avec cos(...) le résultat de l'utilisation de cos(a+b), à l'aide de . Tu verras que tout se simplifie ensuite.