Matrices symétriques positives

[theguitarist]

Bonjour à tous!

Dans un exercice, on me demande de montrer que l'ensemble des matrices positives (qu'on a définit dans le cours par Sn+(R)={matrices M symétriques vérifiant Sp(M) dans R+ }) est un fermé de Mn(R)

J'ai essayé quelque chose mais je crois que je suis vraiment pas sûr (surtout qu'en topologie je suis loin d'être calé) j'aurais donc bien aimé avoir votre avis sur ce que j'ai écrit :


Pour tout X de R^n, on pose F l'application définie par :
F : Mn(R) -> R
M -> (MX,X)

où (.,.) est un produit scalaire dans R^n.

Ensuite on considère une suite (Ak) de matrice de Sn+(R) convergeant dans Mn(R) vers une matrice A,

Sous réserve que je montre que pour tout k, F(Ak)>=0, alors j'en déduirais par continuité du produit scalaire que lim F(Ak) = F(A) et donc F(A)>=0

Pour terminer, comme R+ est un fermé de R, l'ensemble Sn+(R) et donc inclus dans l'image réciproque de R+ par l'application continue F. Sn(R) serait donc un fermé de Mn(R)


Voilà je ne sais pas trop ce que vous en pensez, enfin s'il y a des erreurs, merci de me corriger
bon après midi !

Theguitarist
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[Weensie]

Bonjour à tous!

Dans un exercice, on me demande de montrer que l'ensemble des matrices positives (qu'on a définit dans le cours par Sn+(R)={matrices M symétriques vérifiant Sp(M) dans R+ }) est un fermé de Mn(R)

J'ai essayé quelque chose mais je crois que je suis vraiment pas sûr (surtout qu'en topologie je suis loin d'être calé) j'aurais donc bien aimé avoir votre avis sur ce que j'ai écrit :


Pour tout X de R^n, on pose F l'application définie par :
F : Mn(R) -> R
M -> (MX,X)

où (.,.) est un produit scalaire dans R^n.

Ensuite on considère une suite (Ak) de matrice de Sn+(R) convergeant dans Mn(R) vers une matrice A,

Sous réserve que je montre que pour tout k, F(Ak)>=0, alors j'en déduirais par continuité du produit scalaire que lim F(Ak) = F(A) et donc F(A)>=0

Pour terminer, comme R+ est un fermé de R, l'ensemble Sn+(R) et donc inclus dans l'image réciproque de R+ par l'application continue F. Sn(R) serait donc un fermé de Mn(R)


Voilà je ne sais pas trop ce que vous en pensez, enfin s'il y a des erreurs, merci de me corriger
bon après midi !

Theguitarist

Salut, ce n'est pas parce que Sn+ serait inclus dans un fermé qu'il serait fermé.
En revanche, Sn est fermé en tant que sous-espace vectoriel de Mn(R). Il suffit de prendre une suite convergente comme tu l'as fait d'éléments de Sn+ , type Mk convergeant dans Sn. La continuité du produit scalaire assure que la limite sera elle aussi définie positive. Or elle est symétrique. Donc c'est un fermé

[theguitarist]

Ha oui exact, désolé pour l'erreur, après réflexion c'était pas vraiment fondé l'histoire du fermé inclus dans un autre fermé

Pour la justification de Sn en tant que fermé, est il indispensable de dire que Sn est de dimension finie (et bien sûr que c'est un sous espace vectoriel de l'evn Mn(R))?

En tout cas merci bien, si je peux me permettre une dernière question, une matrice dont les valeurs propres sont toutes positives ou nulles, ont elles des propriétés particulières? Parce que je vois difficilement comment le produit scalaire va pouvoir m'aider à montrer que la limite est définie positive...

[Weensie]

Ha oui exact, désolé pour l'erreur, après réflexion c'était pas vraiment fondé l'histoire du fermé inclus dans un autre fermé

Pour la justification de Sn en tant que fermé, est il indispensable de dire que Sn est de dimension finie (et bien sûr que c'est un sous espace vectoriel de l'evn Mn(R))?

En tout cas merci bien, si je peux me permettre une dernière question, une matrice dont les valeurs propres sont toutes positives ou nulles, ont elles des propriétés particulières? Parce que je vois difficilement comment le produit scalaire va pouvoir m'aider à montrer que la limite est définie positive...

Oui pour la finitude de la dimension.
En fait, on cherche à déterminer , ou, si tu préfères, . Comme , et que l'application:
définie par est continue, la positivité est préservée par passage à la limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[theguitarist]

désolé pour le retard dans ma réponse, j'avais un train à prendre (au sens propre)

merci pour ta réponse cette fois je crois avoir compris, je vais essayé de rédiger tout ça ! Le truc c'est qu'on a pas vu dans le cours qu'une matrice symétrique réelle à valeur propre positive ou nulle, c'était équivalent à pour tout X de R^n, tXMX est positive. Mais la démonstration ne doit pas être bien bien dure, en tout cas merci pour ton aide !

Cordialement
Theguitarist

[Weensie]

Ah en fait c'est juste une autre manière d'écrire le produit scalaire <Mx,x>.

[theguitarist]

D'accord, merci beaucoup