Petite recherche sur les integrales elliptique...

[invite4ef352d8]

Bonjour !


je chercherai des renseignement sur une eventuelle origine geometrique des integrales Elliptiques et des fonction associé (comme les fonctions de jacobi).

Alors pour l'integrale de Seconde espece (ie integral de sqrt(1-k²*sin²(x))dx) le resultat est assez simple, on a la trouve en cherchant a caculer la longeur d'un arc d'ellipse par exemple.


En revanche pour celle de premier espece (ie integral de dx/sqrt(1-k²sin²(x)) ) je ne trouve rien, (ni sur le web ni sur ma feuille) et c'est justement celle qui apprait regulièrement (dans les fonctions de Jacobi par exemple)

Alors a t-elle une interpretation geometrique quelconque ? (je suppose qu'on invente pas des fonction pour le plaisir non ?)

merci d'avance pour toute information a ce sujet.

(NB : si vous avez une interpretation geometrique des fonctions de Jacobi je suis auss preneur...)
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[martini_bird]

Salut,

quelques pistes (tirées de la Géométrie algébrique, recherches historiques de C. Houzel):

D'autres problèmes que celui de la rectification de l'ellipse avaient conduit à des intégrales du même type. Par exemple la figure d'équilibre d'une tige élastique fixée à une extrémité et soumise à une force à l'autre a pour équation

,

comme Jacques Bernoulli l'avait établi en 1694;

Euler chercha vers la fin de sa vie (1775-1782) à déterminer des courbes algébriques dont l'élément d'arc soit de la même forme que celui d'une conique ou de la lemniscate. Longtemps encore des mathématiciens ont essayé d'interpréter les intégrales elliptiques par la rectification de certaines courbes.

Lagrange est le premier à avoir considéré les intégrales elliptiques les plus générales (1784): ce sont les intégrales de la forme où est une fraction rationnelle en et et où avec polynôme de degré 4 (ou 3) sans facteur multiple.

En bref, je ne crois pas qu'il y ait d'interprétation en terme de longueur d'arc pour l'intégrale elliptique de première espèce.

Cordialement.

[invite4ef352d8]

merci beaucoup pour ces renseignement.