encore sur les matriX

[invite2c72d354]

bonsoir tt le monde;

aujourd'hui matin en classe, on a fait un devoir en maths; il y avait une question à laquelle personne n'a pu repondre; et le prof n'a pas cessé de nous dire et de nous répéter que c'est la plus simple. je vous la propose:

M matrice carrée d'ordre n;
montrer que si rg(M)=n-1 alors rg(com(M))=1

touts vos remarques et indications seront les bienvennues;
merci d'avence

[invitedf667161]

Bonsoir.

Si rg(M) = n-1 il y au moins une sous matrice de M d'ordre n-1 qui soit inversible.

(Ce serait pas rg(com(M)) >= 1 la conclusion des fois ?)

[invite2c72d354]

Bonsoir.

Si rg(M) = n-1 il y au moins une sous matrice de M d'ordre n-1 qui soit inversible.

(Ce serait pas rg(com(M)) >= 1 la conclusion des fois ?)

tout a fait, on a fait ce theoreme; mais j vois pas comment ca va nous aider ?

[invitedf667161]

Eh bien quels sont les coefficients de com(M) ?

Tu peux répondre à la question entre parenthèses stp ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c72d354]

la comatrice de M c'est la matrice des cofacteurs de M

[invitedf667161]

Oui c'est ça! C'est quoi un cofacteur? Quelle est le lien avec les sous matrices de rang n-1 ?

Tu veux vraiment pas répondre à la question entre parenthèses dis moi...

[invite2c72d354]

c'est l'egalité qui est demandée de démentrer rg(com(M))=1

[invite52c52005]

c'est l'egalité qui est demandée de démentrer rg(com(M))=1

Bonsoir,

l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?

[invite2c72d354]

Bonsoir,

l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?

le rang d'une matrice et celui de sa transposé sont égaux

[invitec314d025]

Bonsoir,

l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?

com(A) c'est la matrice complémentaire de A, donc bien la transposée de la matrice des cofacteurs. Ceci-dit une matrice ayant même rang que sa transposée ...

[EDIT: arf, ça peut être aussi comatrice, donc juste matrice des cofacteurs j'imagine]

[invite52c52005]

Bonsoir,

l'énoncé, ce ne serait pas plutôt le rang de la transposée de la matrice des cofacteurs qui soit égale à 1 ?

Ma question doit vous mettre sur la voie. Est ce qu'il n'y a pas une relation qui lie la matrice et la transposée de la matrice des cofacteurs ?

[invite2c72d354]

Ma question doit vous mettre sur la voie. Est ce qu'il n'y a pas une relation qui lie la matrice et la transposée de la matrice des cofacteurs ?

voila
transposée(com(M))*M = det(M)*I_n

rang(M) =n-1 => det(M) = 0

t(com(M))*M = 0 ( pas grand chose je crois ?)

[invite52c52005]

voila
transposée(com(M))*M = det(M)*I_n

rang(M) =n-1 => det(M) = 0

t(com(M))*M = 0 ( pas grand chose je crois ?)

OK.

Et si on appelle M' = t(com(M)) pour simplifier l'écriture, on a M'*M = 0.

Qu'est ce que cela signifie ?

[invite52c52005]

transposée(com(M))*M = det(M)*I_n

On peut y arriver comme ça, mais je crois que c'est plus direct si on prend [EDIT : non, finalement on peut conclure de la même maniere ]:

M*transposée(com(M)) = det(M)*I_n

et on obtient donc M * t(com(M)) = 0.

Toujours même question, qu'est ce que ça signifie ?

[invite2c72d354]

et le cofacteur d'indice (i,j) est le determinant de la matrice extrete en enlevant la i ème ligne et la j ème colonne

[invitec314d025]

et le cofacteur d'indice (i,j) est le determinant de la matrice extrete en enlevant la i ème ligne et la j ème colonne

Si j'ai bonne mémoire ça c'est le mineur. Le cofacteur étant égal au mineur multiplié par (-1)^(i+j)

[invite2c72d354]

Si j'ai bonne mémoire ça c'est le mineur. Le cofacteur étant égal au mineur multiplié par (-1)^(i+j)

oui tout a fait !

[invite2c72d354]

M de rang n-1 =>il existe une matrice extrete inversible son determinant non nul
=>au moins un coffacteur non nul et le rang de la commatrice estsup ou egale 1 rang(com(M))>=1
et apres ?