Série et convergence

[Kreg]

Bonjour à toutes et à tous !

J'ai du mal à débuter un exercice sur les séries.
Pouvez m'aider ?

Soit une série à termes réels positifs et
Montrez que :

1) Si a une limite non nulle, alors la série converge si et seulement si

2) si et alors converge

3) Si et alors diverge.

4) En déduire la nature de :

1) Je sais que si le terme général d'une série ne tend pas vers 0 alors la série diverge. Donc, diverge.
diverge aussi (série de Riemann de paramètre -1).
J'ai remarque aussi est une série à terme positif donc je peux utiliser les critères de bases, le théorème de majorations, les équivalence, la règle de D'Alembert et celle de Cauchy.
Mais à part, cela, je ne vois pas comment poursuive. Il y a t-il quelques choses que je dois remarquer ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite70783b59]

Bonjour,
Il n'y aurais pas une erreur d'ennoncee, pour la question 1 ?

[Kreg]

Bonjour,

Oui effectivement, j'ai fais une erreur en recopiant l'énoncé, la question 1 est :

Si a une limite non nulle, alors la série converge si et seulement si

Merci

[invite70783b59]

La 1 deja :
tu as Un*n^alpha qui tend vers l, alpha >1
Alors tu pose gama = (1+alpha)/2. 1<Gama<alpha, et on a donc un*n^gamma qui tend vers 0 ( tu le verifie facilement).
Donc ta serie converge.
puis tu fais par l'absurde pour l'autre application.
Un*n^alpha qui tend vers l, alpha =<1
donc un*n^alpha*n^(-alpha) va tendre vers l'infine, donc la serie diverge grossierement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite70783b59]

Mince,en fait j'utilise la question 2 pour faire la 1), je pensait que c'etait du cours

[God's Breath]

L'hypothèse de la question 1 fournit immédiatement un équivalent simple de U_n.

[Kreg]

Mince,en fait j'utilise la question 2 pour faire la 1), je pensait que c'etait du cours

Dommage, merci tout de même.

L'hypothèse de la question 1 fournit immédiatement un équivalent simple de Un.

Quelle hypothèse ? Que la limite soit nulle ?

Merci

[God's Breath]

Que la limite soit NON nulle.

[Kreg]

Bonjour,
Je ne sais pas mais j'ai essayé de chercher.
J'ai trouvé la propriété suivant : Si f(x) a une limite finie L non nulle alors f(x) est équivalent à L.

Mais je ne vois pas en quoi cette propriété nous est utiles car l'on ne connait pas la limite L.

Merci

[Kreg]

Avez vous d'autres indications ?
Merci d'avance.

[God's Breath]

J'ai trouvé la propriété suivant : Si f(x) a une limite finie L non nulle alors f(x) est équivalent à L.

Donc, si a une limite finie non nulle alors est équivalent à : il suffit d'en déduire en équivalent de pour conclure.

[Kreg]

Bonjour,

Logiquement, un équivalent de Un serait
Donc la série convergence comme une série de Riemann si Merci

Maintenant, pour les 2 autres questions, je ne peux plus utiliser les équivalents mais je voudrais, tout de même, diviser par . Ce sont des formes indéterminées, que puis je faire pour les enlever ?

Merci encore

[Kreg]

Personnes n'a d'idée ?
Merci

[taladris]

Pour les 2 autres questions, tu ne peux plus utiliser les équivalents, mais tu disposes d'autres critères.

En particulier, remarque que si une suite (u_n) tend vers 0 (resp. tend vers l'infini), alors pour n assez grand, u_n est plus petit que 1 (resp. plus grand que 1)

Cordialement