logarithme

[Seirios]

Salut à tous,
Je me suis un peu documenté sur les logarithmes et il y a quelques questions que je me suis posé.

L’équation 100 = 10y a pour solution y = log 100 (le logarithme a une base de 10) et pour ce logarithme les relations suivantes sont admises :
(log a)+(log b) = log ab
(log a)/(log b) = (log a) – (log b)
L’équation 100 = ey a pour solution y = ln 100 (le logarithme népérien a pour base e qui est environ égal à 2,718281828)

Mais que représente e ? A quoi correspond-il ?
Existe-t-il d’autre logarithme ayant une base autre que 10 et e ?
L’exponentiel de x est-il égale a l’inverse du logarithme de x ?
L’équation 100 = (10y)-1 a-t-elle comme solution y = exp 100 ?

Merci d’avance
Phys2
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[g_h]

Salut

Il existe une infinité de logarithmes.

Si on note le logarithme en base b, alors (b > 0) :


En particulier, le logarithme de base 10 :


Sinon, non, e^x n'est pas égal à l'inverse du logarithme népérien de x
Ces 2 fonctions sont dites "réciproques", c'est comme et
n'est pas égal à

Et pour résoudre :


A savoir : pour tout a > 0 :

En sachant ça, tu sais presque tout ce qu'il y a savoir sur les logarithmes

[g_h]

(log a)/(log b) = (log a) – (log b)

Ceci est faux !

C'est plutot :

[g_h]

Sinon, pour finir de répondre à tes questions :
Historiquement, je pense que e a été d'abord vu comme "le nombre dont le logarithme népérien vaut 1 (on a "découvert" le logarithme avant l'exponentielle)

En terminale (ou on définit l'exponentielle avant le logarithme), tu pourras voir qu'il existe une unique fonction f égale à sa dérivée telle que f(0) = 1 (c'est l'exponentielle)
Et on peut alors définir e = f(1), que tu peux approximer par exemple en utilisant la "méthode d'Euler" (avec l'approximation affine que l'on voit en première)

Autrement, tu as aussi (très facile à faire sur une calculette, ça converge très vite):


Et plus concrètement, tu retrouves aussi e en probabilités (voir le "théorême des chapeaux" je crois), en électricité (dans l'équation de la charge d'un condensateur par exemple), en mécanique (chute d'un objet avec frottements)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Dites petite question (je n'avais pas envie d'ouvir un topic pour ça), est-ce que c'est vrai que dans les cours d'analyse plus avancés le logarithme en base e de x (ln x) se note plutôt :

log (x)

(et pour le log. en base 10 on notera plutôt log₁₀ x)

?

merci

[matthias]

D est-ce que c'est vrai que dans les cours d'analyse plus avancés le logarithme en base e de x (ln x) se note plutôt :

log (x)

(et pour le log. en base 10 on notera plutôt log₁₀ x)

Je ne crois pas que ce soit une question de cours avancés ou pas, mais plutôt d'époque. Sauf cas particuliers on utilise assez rarement le log en base 10 en maths pures, donc il faut voir en fonction du contexte.

[Bleyblue]

ah bon.
J'avais entendut ça, en tout cas je préfère log(x) que ln(x) ...