Tenseurs et Produit tensoriels.

[invite6754323456711]

Le produit tensoriel c'est la donnée à la fois de l'espace T et de l'application bilinéaire theta, telle que ce qui est ecrit dans 1.1.1. Il est ensuite prouvé qu'un tel T et theta existe toujours et est toujours unique.

Cela n'apparait pas de manière explicite.

Je me mets dans la situation de quelqu'un qui découvre et la proposition 1.1.2 qui suit ne parle, dans le texte, que de T concernant le produit tensoriel et non d'un composite comprenant de plus l'application bilinéaire thêta.

Patrick
-----

[mtheory]

Quelques remarques quand même.

De mon point de vue c'est typiquement un tres mauvaise approche.

C'est une formulation trop limitée pour quelqu'un qui veut devenir mathématicien mais c'est une bonne approche pour prendre contact avec la notion de tenseur, en particulier pour un physicien. Et je précisais bien que c'était à destination des physiciens.

1/ C'est une approche tres orientée "calcul". Clairement ce cours a vocation d'apprendre à faire des calculs avec des tenseurs, et d'etre capable de faire de manière effective les differents calculs classiques de l'algèbre tensorielle (contraction, "monter et descendre les indices" etc...). Or ces calculs sont secondaires, et viennent naturellement une fois que l'on a compris ce qui est derrière. Pire il est possible d'etre tout à fait virtuose dans ce genre de calcul, sans avoir rien du tout compris a ce qu'il y a derriere. Pour moi c'est la meme difference (pour faire une analogie) entre un cours sur les polynomes qui presenterait la resolution pratique des equations cubiques, et un qui demontrerait le theoreme de d'Alembert.

Oui, mais le processus d'abstraction se fait à partir de quelque chose de concret à abstraire et en l'occurrence, ça n'est pas mauvais de commencer par ça. Mais bien évidemment, les idées et les concepts sont plus importants que les calculs dans certains cas, typiquement pour un mathématicien, pas toujours pour un physicien. Le théorème de d'Alembert est important pour un physiciens parce qu'il a déjà compris l'utilité de considérer des polynômes et de trouver des solution de ces polynômes. Mais lui faire rencontrer les polynomes juste comme ça et avec l'accent mis pour la démonstration du théorème de d'Alembert a autant d’intérêt pour lui que des considérations de linguistique générale quand on veut faire des courses dans un pays étranger.

2/ Une objection que je trouve plus serieuse. C'est que le calcul tensoriel presenté sur ce pdf est deja tres orienté géométrie differentielle

parce que c'est la seule chose qui est vraiment utile pour un physicien et qu'historiquement le calcul tensoriel s'est beaucoup développé pour les besoins de la géométrie intrinsèque, algébrique et différentielle.

des choses qui n'ont rien à voir avec l'algèbre tensorielle proprement dite). Le probleme c'est que l'algèbre tensorielle s'utilise veritablement partout (comme la somme directe par exemple).

oui, mais une fois qu'on a compris l'importance de la formulation "universelle" de l'algèbre en relation avec la théorie des ensembles. On sait qu'on a besoin d'une formulation la plus abstraite possible pour pouvoir ramener des questions mathématiques complexes à des problèmes simples de produits tensoriels d'espaces vectoriels, c'est à dire à un problème de géométrie simple finalement. On doit pouvoir, en tant que mathématicien, disposer d'une formulation abstraite permettant de faire de l'algèbre "universelle" mais pour un physicien, ça n'a pas d’intérêt et ça le détourne d'autres aspects du calcul tensoriel dont il a vraiment besoin.

Je pense qu'un cours d'algèbre tensorielle doit, a minima, pouvoir ensuite permettre de comprendre aussi des choses telles que "quand on a deux representations d'un groupe, on peut un fabriquer une troisieme leur produit tensoriel", "quand on a deux distributions, on peut en prendre le produit tensoriel", "quand on étend les scalaires d'un espace vectoriel de R a C, on regarde en fait le prduit tensoriel de cet espace avec C", tout autant que le calcul tensoriel sur les variétés

Oui, mais ça c'est l'ordre historique renversé. C'est parce que la théorie des tenseurs s'est construite sur la théorie des invariants en géométrie, étroitement liée à la théorie des groupes classiques, que la notion de produit tensoriel générale c'est dégagé. Dans la formulation moderne de bien des mathématiques, sans référence au processus d'abstraction qui lui a donné naissance, on ne donne jamais de justification au fait que la théorie est formulée de la façon dont elle est formulée et on a l'impression de plusieurs choses, la construction rationnelle, je ne dis pas logique, n'est pas donnée. On ne sait pas d'où viennent les choses, pourquoi c'est important de les traiter de la manière dont elles sont exposés et pourquoi ça fonctionne. Tout semble arbitraire et sans réelles justifications autre que des règles formelles de manipulations de jeu d'échec.

[invite6754323456711]

Cela n'apparait pas de manière explicite.

Un exemple de texte qui utilise le vocabulaire de couple

Patrick

[mtheory]

Je voudrais qu'il soit bien clair que toutes mes interventions ne visaient qu'à mettre en garde contre certaines approches du calcul tensoriel destinés à la majorité des physiciens, avec pour but d'éviter que ceux-ci soient découragés ou rebutés par ces approches. Cela n'allait pas plus loin pour un texte qui sera certainement très utile pour les personne à la tournure d'esprit beaucoup plus mathématiques.