Tenseurs et Produit tensoriels.

[PlaneteF]

A la façon d'Hermann Weyl dans son ouvrage sur la relativité, en liaison avec les formes algébriques et la géométrie, les invariants et covariants associés. J'ai malheureusement pas trop le temps de développer tout de suite. La présentation que je vois là me fait penser à celle de Laurent Schwartz. C'est bien adapté à la théorie du calcul intégral (produit de mesure) et certainement pour un mathématicien pur mais pour un physicien voulant comprendre pourquoi et comment, conceptuellement, les tenseurs sont utiles en relativité, il ne trouvera rien.

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

[mtheory]

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

Déjà là c'est mieux pour un physicien oui. On dirait que c'est inspiré par le fameux livre de Lichné

[Médiat]

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

Evidemment, je réagis en mathématicien, mais la première page ne me plait pas du tout :

On y donne une définition sans montrer l'existence de l'objet défini (ou même signaler que cela devrait être (sera) fait).
Il y a deux suppression d'article dans la définition 1.1 qui sont bien pratiques si l'auteur avait écrit "est appelée la multiplication tensorielle" on lui aurait demandé en quoi la définition précédente garantissait l'unicité ; et si l'auteur avait écrit "est appelée une multiplication tensorielle" on lui aurait demandé quoi faire pour avoir la définition d'un objet.
Bref, deux difficultés occultées, cela ne me donne pas envie de lire la suite (mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien).

[mtheory]

(mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien).

Je ne critiquais personne ici pas de hiérarchie entre le mathématicien et le physicien. J'indiquais juste que certaines approches sont plus utiles et appropriés à l'un qu'à l'autre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je ne critiquais personne ici pas de hiérarchie entre le mathématicien et le physicien. J'indiquais juste que certaines approches sont plus utiles et appropriés à l'un qu'à l'autre.

En quoi, au moins, dire que montrer à la fois l'existence et l'unicité d'un objet est nécessaire lors de sa définition, quitte à ne pas faire les démonstration (en signalant une bonne référence), empécherait les physiciens de comprendre ? Est-ce mieux de glisser la poussière sous le tapis ?

[mtheory]

En quoi, au moins, dire que montrer à la fois l'existence et l'unicité d'un objet est nécessaire lors de sa définition, quitte à ne pas faire les démonstration (en signalant une bonne référence), empécherait les physiciens de comprendre ? Est-ce mieux de glisser la poussière sous le tapis ?

Je ne parlais pas de ça, c'est ta remarque "mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien" qui pouvait laisser entendre que tu ironisais sur le fait que je pourrais avoir fait une hiérarchie en disant que ce que font les physiciens, c'est mieux que ce que font les mathématiciens, ce que je ne disais pas. En fait, je voulais désamorcer d'éventuelles tensions du fait que j'ai cité l'article d'Arnold qui n'est pas tendre avec les mathématiciens français.

[Médiat]

qui pouvait laisser entendre que tu ironisais sur le fait que je pourrais avoir fait une hiérarchie en disant que ce que font les physiciens, c'est mieux que ce que font les mathématiciens, ce que je ne disais pas.

Au contraire je voulais indiquer que je comprenais très bien qu'il y ait deux façons d'appréhender les choses, qu'une vision utilitariste peut se comprendre (même si elle a le défaut de ne permettre que rarement de comprendre le concept) mais que je ne peux pas m'empécher de réagir en pauvre mathématicien attaché à ses valeurs (je n'est pas écrit lubies ).

Quant à l'article d'Arnold, je préfère oublier son existence !

[PlaneteF]

Amusant ce qui dit cet auteur pour justifier son approche "par la propriété" en prenant l'analogie des nombres réels (1^ère page) :

"(...) and after all what is a real number? Do we always think of it as an equivalence class of Cauchy sequences of rationals?"

http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin.../Chapter_2.pdf

[Médiat]

"(...) and after all what is a real number? Do we always think of it as an equivalence class of Cauchy sequences of rationals?"

Personnellement je préfère penser aux nombres réels comme des classes d'équivalence de quasi-endomorphismes de .

Ou encore comme l'ensemble de certaines suites formelles, munies des bonnes opérations (même pas besoin de quotienter).

[invite76543456789]

Amusant ce qui dit cet auteur pour justifier son approche "par la propriété" en prenant l'analogie des nombres réels (1^ère page) :

"(...) and after all what is a real number? Do we always think of it as an equivalence class of Cauchy sequences of rationals?"

http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin.../Chapter_2.pdf

C'est en fait extremement courrant et à la base de la notion de propriété universelle! Et c'est en general comme cela que l'on definit quelque chose (et ensuite on prouve que le truc existe, l'unicité elle est tres generale et provient du lemme de Yoneda).

Par exemple la somme directe de E et de F c'est un espace T (muni de fleches de E et F) qui verifie pour tout espace S, le produit de E et F, c'est un espace T (muni de fleche vers E et F) qui verifie pour tout S , le noyau de f:E->F, c'est un espace K (muni d'une fleche vers E), tel que tout tout S on ait etc etc...


Et on peut tout démontrer a partir de là, et de plus ca permet de definir l'analogue de somme directe (produit cartesien, noyau) dans des contextes completement different (groupes, modules, faisceau etc...) en ayant directement la bonne définition, et les memes propriétés.

Je joue le candide en oubliant les quelques connaissances que j'ai sur l’algèbre tensorielle : A la lecture de la définition 1.1.1 on ne sait toujours pas bien ce qu'est un produit tensoriel. On sait juste que pour qu'un produit tensoriel puisse exister il faut vérifier telle propriété.
C'est tout application bilinéaire f : E×F→S vérifiant ... ?


Patrick

Le produit tensoriel c'est la donnée à la fois de l'espace T et de l'application bilinéaire theta, telle que ce qui est ecrit dans 1.1.1. Il est ensuite prouvé qu'un tel T et theta existe toujours et est toujours unique.

[invite6754323456711]

Le produit tensoriel c'est la donnée à la fois de l'espace T et de l'application bilinéaire theta, telle que ce qui est ecrit dans 1.1.1. Il est ensuite prouvé qu'un tel T et theta existe toujours et est toujours unique.

Cela n'apparait pas de manière explicite.

Je me mets dans la situation de quelqu'un qui découvre et la proposition 1.1.2 qui suit ne parle, dans le texte, que de T concernant le produit tensoriel et non d'un composite comprenant de plus l'application bilinéaire thêta.

Patrick

[invite6754323456711]

Cela n'apparait pas de manière explicite.

Un exemple de texte qui utilise le vocabulaire de couple

Patrick

[invite6754323456711]

En quoi, au moins, dire que montrer à la fois l'existence et l'unicité d'un objet est nécessaire lors de sa définition, quitte à ne pas faire les démonstration (en signalant une bonne référence), empécherait les physiciens de comprendre ?

Il me semble que la différence des modes de pensée est lié au fait que pour le physicien les données empiriques lui sont données par les mesures il ne peut les définir (les données) et existent par la mesure et non par la formalisation de son existante. Il cherche via les structures mathématiques un langage applicatif lui permettant d'interpréter formellement ces données physiques. Concernant l'effort intellectuel sur le formalisme définissant de manière univoque l'existence et l'unicité d'un objet mathématique il fait confiance, me semble t-il, aux mathématiciens.

Je joue le candide en oubliant les quelques connaissances que j'ai sur l’algèbre tensorielle : A la lecture de la définition 1.1.1 on ne sait toujours pas bien ce qu'est un produit tensoriel. On sait juste que pour qu'un produit tensoriel puisse exister il faut vérifier telle propriété.
C'est tout application bilinéaire f : E×F→S vérifiant ... ?


Patrick

[Médiat]

Concernant l'effort intellectuel sur le formalisme définissant de manière univoque l'existence et l'unicité d'un objet mathématique il fait confiance, me semble t-il, aux mathématiciens.

Cet aspect ne me dérange pas, comme je l'ai écrit dans le passage que vous citez, il ne me semble pas nécessaire de faire toutes les démonstrations, mais il me semble nécessaire de ne pas glisser la poussière sous le tapis et dire qu'il y a quelque chose à faire, mais "qu'on peut faire confiance aux mathématiciens" pour le faire aurait été suffisant ; je pense aussi, en disant cela, aux physiciens juste un peu curieux qui se poseraient des questions légitimes et qui pourrait être découragé en les voyant même pas évoquées.

[PlaneteF]

Evidemment, je réagis en mathématicien, mais la première page ne me plait pas du tout :

On y donne une définition sans montrer l'existence de l'objet défini (ou même signaler que cela devrait être (sera) fait).
Il y a deux suppression d'article dans la définition 1.1 qui sont bien pratiques si l'auteur avait écrit "est appelée la multiplication tensorielle" on lui aurait demander en quoi la définition précédente garantissait l'unicité ; et si l'auteur avait écrit "est appelée une multiplication tensorielle" on lui aurait demander quoi faire pour avoir la définition d'un objet.
Bref, deux difficultés occultés, cela ne me donne pas envie de lire la suite (mais bon, je ne suis qu'un pauvre mathématicien).

Remarque, l'auteur prévient le lecteur d'entrée de jeu sur son approche en précisant bien : "(...) nous définirons les tenseurs et les espaces tensoriels uniquement à partir de leurs propriétés opératoires." ...

[Médiat]

Remarque, l'auteur prévient le lecteur d'entrée de jeu sur son approche en précisant bien : "(...) nous définirons les tenseurs et les espaces tensoriels uniquement à partir de leurs propriétés opératoires." ...

J'ai bien lu, mais cela ne retire rien à mes remarques.

[invite76543456789]

Peut-être cette approche là ?

http://o.castera.free.fr/pdf/Algebre_tensorielle.pdf

De mon point de vue c'est typiquement un tres mauvaise approche.
Je vais essayer d'expliquer pourquoi (mes raisons sont assez differentes de celle de Médiat).

1/ C'est une approche tres orientée "calcul". Clairement ce cours a vocation d'apprendre à faire des calculs avec des tenseurs, et d'etre capable de faire de manière effective les differents calculs classiques de l'algèbre tensorielle (contraction, "monter et descendre les indices" etc...). Or ces calculs sont secondaires, et viennent naturellement une fois que l'on a compris ce qui est derrière. Pire il est possible d'etre tout à fait virtuose dans ce genre de calcul, sans avoir rien du tout compris a ce qu'il y a derriere. Pour moi c'est la meme difference (pour faire une analogie) entre un cours sur les polynomes qui presenterait la resolution pratique des equations cubiques, et un qui demontrerait le theoreme de d'Alembert.

2/ Une objection que je trouve plus serieuse. C'est que le calcul tensoriel presenté sur ce pdf est deja tres orienté géométrie differentielle (on parle de coordonnées curvilignes, de coordonnées covariantes etc... des choses qui n'ont rien à voir avec l'algèbre tensorielle proprement dite). Le probleme c'est que l'algèbre tensorielle s'utilise veritablement partout (comme la somme directe par exemple). Je pense qu'un cours d'algèbre tensorielle doit, a minima, pouvoir ensuite permettre de comprendre aussi des choses telles que "quand on a deux representations d'un groupe, on peut un fabriquer une troisieme leur produit tensoriel", "quand on a deux distributions, on peut en prendre le produit tensoriel", "quand on étend les scalaires d'un espace vectoriel de R a C, on regarde en fait le prduit tensoriel de cet espace avec C", tout autant que le calcul tensoriel sur les variétés.

[mtheory]

De mon point de vue c'est typiquement un tres mauvaise approche.
Je vais essayer d'expliquer pourquoi (mes raisons sont assez differentes de celle de Médiat).

1/ C'est une approche tres orientée "calcul". Clairement ce cours a vocation d'apprendre à faire des calculs avec des tenseurs, et d'etre capable de faire de manière effective les differents calculs classiques de l'algèbre tensorielle (contraction, "monter et descendre les indices" etc...). Or ces calculs sont secondaires, et viennent naturellement une fois que l'on a compris ce qui est derrière. Pire il est possible d'etre tout à fait virtuose dans ce genre de calcul, sans avoir rien du tout compris a ce qu'il y a derriere. Pour moi c'est la meme difference (pour faire une analogie) entre un cours sur les polynomes qui presenterait la resolution pratique des equations cubiques, et un qui demontrerait le theoreme de d'Alembert.

2/ Une objection que je trouve plus serieuse. C'est que le calcul tensoriel presenté sur ce pdf est deja tres orienté géométrie differentielle (on parle de coordonnées curvilignes, de coordonnées covariantes etc... des choses qui n'ont rien à voir avec l'algèbre tensorielle proprement dite). Le probleme c'est que l'algèbre tensorielle s'utilise veritablement partout (comme la somme directe par exemple). Je pense qu'un cours d'algèbre tensorielle doit, a minima, pouvoir ensuite permettre de comprendre aussi des choses telles que "quand on a deux representations d'un groupe, on peut un fabriquer une troisieme leur produit tensoriel", "quand on a deux distributions, on peut en prendre le produit tensoriel", "quand on étend les scalaires d'un espace vectoriel de R a C, on regarde en fait le prduit tensoriel de cet espace avec C", tout autant que le calcul tensoriel sur les variétés.

tout à fait d'accord avec ça....Ce que je veux dire c'est que selon les approches, il y a un contenu qui est plus ou moins occulté par nécessité même du domaine et ce qu'on veut en faire. Avoir une vision complète et appropriée à chaque fois n'est pas facile.

[mtheory]

Quelques remarques quand même.

De mon point de vue c'est typiquement un tres mauvaise approche.

C'est une formulation trop limitée pour quelqu'un qui veut devenir mathématicien mais c'est une bonne approche pour prendre contact avec la notion de tenseur, en particulier pour un physicien. Et je précisais bien que c'était à destination des physiciens.

1/ C'est une approche tres orientée "calcul". Clairement ce cours a vocation d'apprendre à faire des calculs avec des tenseurs, et d'etre capable de faire de manière effective les differents calculs classiques de l'algèbre tensorielle (contraction, "monter et descendre les indices" etc...). Or ces calculs sont secondaires, et viennent naturellement une fois que l'on a compris ce qui est derrière. Pire il est possible d'etre tout à fait virtuose dans ce genre de calcul, sans avoir rien du tout compris a ce qu'il y a derriere. Pour moi c'est la meme difference (pour faire une analogie) entre un cours sur les polynomes qui presenterait la resolution pratique des equations cubiques, et un qui demontrerait le theoreme de d'Alembert.

Oui, mais le processus d'abstraction se fait à partir de quelque chose de concret à abstraire et en l'occurrence, ça n'est pas mauvais de commencer par ça. Mais bien évidemment, les idées et les concepts sont plus importants que les calculs dans certains cas, typiquement pour un mathématicien, pas toujours pour un physicien. Le théorème de d'Alembert est important pour un physiciens parce qu'il a déjà compris l'utilité de considérer des polynômes et de trouver des solution de ces polynômes. Mais lui faire rencontrer les polynomes juste comme ça et avec l'accent mis pour la démonstration du théorème de d'Alembert a autant d’intérêt pour lui que des considérations de linguistique générale quand on veut faire des courses dans un pays étranger.

2/ Une objection que je trouve plus serieuse. C'est que le calcul tensoriel presenté sur ce pdf est deja tres orienté géométrie differentielle

parce que c'est la seule chose qui est vraiment utile pour un physicien et qu'historiquement le calcul tensoriel s'est beaucoup développé pour les besoins de la géométrie intrinsèque, algébrique et différentielle.

des choses qui n'ont rien à voir avec l'algèbre tensorielle proprement dite). Le probleme c'est que l'algèbre tensorielle s'utilise veritablement partout (comme la somme directe par exemple).

oui, mais une fois qu'on a compris l'importance de la formulation "universelle" de l'algèbre en relation avec la théorie des ensembles. On sait qu'on a besoin d'une formulation la plus abstraite possible pour pouvoir ramener des questions mathématiques complexes à des problèmes simples de produits tensoriels d'espaces vectoriels, c'est à dire à un problème de géométrie simple finalement. On doit pouvoir, en tant que mathématicien, disposer d'une formulation abstraite permettant de faire de l'algèbre "universelle" mais pour un physicien, ça n'a pas d’intérêt et ça le détourne d'autres aspects du calcul tensoriel dont il a vraiment besoin.

Je pense qu'un cours d'algèbre tensorielle doit, a minima, pouvoir ensuite permettre de comprendre aussi des choses telles que "quand on a deux representations d'un groupe, on peut un fabriquer une troisieme leur produit tensoriel", "quand on a deux distributions, on peut en prendre le produit tensoriel", "quand on étend les scalaires d'un espace vectoriel de R a C, on regarde en fait le prduit tensoriel de cet espace avec C", tout autant que le calcul tensoriel sur les variétés

Oui, mais ça c'est l'ordre historique renversé. C'est parce que la théorie des tenseurs s'est construite sur la théorie des invariants en géométrie, étroitement liée à la théorie des groupes classiques, que la notion de produit tensoriel générale c'est dégagé. Dans la formulation moderne de bien des mathématiques, sans référence au processus d'abstraction qui lui a donné naissance, on ne donne jamais de justification au fait que la théorie est formulée de la façon dont elle est formulée et on a l'impression de plusieurs choses, la construction rationnelle, je ne dis pas logique, n'est pas donnée. On ne sait pas d'où viennent les choses, pourquoi c'est important de les traiter de la manière dont elles sont exposés et pourquoi ça fonctionne. Tout semble arbitraire et sans réelles justifications autre que des règles formelles de manipulations de jeu d'échec.

[mtheory]

Je voudrais qu'il soit bien clair que toutes mes interventions ne visaient qu'à mettre en garde contre certaines approches du calcul tensoriel destinés à la majorité des physiciens, avec pour but d'éviter que ceux-ci soient découragés ou rebutés par ces approches. Cela n'allait pas plus loin pour un texte qui sera certainement très utile pour les personne à la tournure d'esprit beaucoup plus mathématiques.