nombre de sphères après 12 pouvant entourer une sphère (36 ?)

[inviteaa89ac24]

bonjour à tous,

Je n'ai pas votre niveau en math je pense etje cherche à visualiser combien de sphères pourrait entourer en 3D une sphère aprés 12

voici le dessin où on voit la sphère du centre (bleue) + les 6 sphères (roses)qui l'entourent à l'équateur + les 3 sphères (jaunes) du dessus ( il y a 3 sphères en dessous qu'on ne voit pas) = 12



Ensuite sur le 3ème cercle (vert et mauve) on voit qu'on peut en mettre je pense 12 mais la question que je me pose c'est combien entre les 3 jaunes et l'extrémité du 3ème cercle ? Il faut imaginer tout cela enfermé dans une grande sphère bien sûr.

je penche pour 36 (en tout) pour les 3 niveaux + 1 au centre

si quelqu'un pouvait me confirmer et me le faire visualiser ce serait cool merci d'avance
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[phys4]

Bonjour,

Question difficile, d'ailleurs il existe une erreur dans votre dessin : les trois boules jaunes doivent tourner de 30°.
Je fais le raisonnement suivant :
- lorsqu’une est complétement entourée, elle se trouve en contact avec 12 boules.
- une boule extérieure du premier niveau est en contact avec 5 boules existantes
- il faut donc rajouter 7 boules autour de chacune pour avoir le second niveau soit 7x12
- mais chaque nouvelle boule est en contact avec 3 boules préexistantes,
je trouve donc 7x12/3 = 28 boules pour le second niveau.
Je ne peux être totalement sur du résultat, mais cela me semble un maximum.

[inviteaa89ac24]

Bonjour Phys4 et merci pour votre réponse,

Donc selon vous le total serait de 1+12 (soit 6+3+3)+ 28 = 41 sphère au total

Je n'arrive pas très bien à visualiser pour vos 3 boules qui doivent tourner de 30° , qu'entendez vous par là (j'essayerai d'illustrer bien sûr les réponses qu'on me donnera

[phys4]

Après réflexion, il faut revoir la solution.
Nous ne pouvons pas faire un pavage régulier de l'espace avec des polyèdres à 12 faces, le problème n'est pas complétement déterminé et la solution dépend de la définition prise pour la 2eme couche.

Tout d'abord, la figure initiale doit être corrigée de la manière suivante : les 3 boules jaunes doivent venir dans les interstices bleu-orange et toucher trois autres boules à la fois : donc petite rotation nécessaire.
Ce genre de maillage de l'espace prend deux formes similaires : hexagonal compact ou cubique à faces centrées, maillage avec 12 boules autour de chacune, bien connu en cristallographie.

La représentation cubique face centrées semble plus facile à agrandir : nous prenons trois carrés perpendiculaires qui se coupent au centre.
Le centre est la boule centrale bleu. Les grands carrés sont découpés chacun par les deux autres en 4 petits carrés. au centre de chaque petit carré nous mettons une boule orange. Nous avons ainsi les 12 boules autour du centre.
Pour visualiser la 2eme couche, nous construisons le cube qui ferme la figure formée par les trois grands carrés précédents.
Les trois premiers plans découpent les faces du grand cube en 4 petits carrés chacun, soit au total 6faces X 4carés = 24 petits carrés extérieurs.

Nous mettons une boule au centre de chacun ces petits carrés, les 24 boules touchent chacune 2 boules du 1er niveau. il faut ajouter une boule au centre de chaque face du grand cube, soit 6 boules qui sont en contact chacune avec 4 boules de 1er niveau.
Les 12 centres des arêtes du grand cube font également partie du maillage, elles sont en contact avec 1 seule boule du premier niveau, enfin les 6 sommets du grand cube sont aussi en contact avec une seule boule du premier niveau, faut-il les compter.
Mon erreur du message précédent provient du nombre de contact avec le premier niveau qui n'est pas homogène. Problème faut-il compter dans le second niveau les boules qui ne peuvent touchent qu'une seule boule du premier ?
Si l'on répond non, le second niveau compte 30 boules, sinon nous pouvons aller jusque 48 boules ?

Avez vous assez d'éléments pour faire les figures ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Les 12 centres des arêtes du grand cube font également partie du maillage, elles sont en contact avec 1 seule boule du premier niveau, enfin les 6 sommets du grand cube sont aussi en contact avec une seule boule du premier niveau, faut-il les compter.

Si l'on répond non, le second niveau compte 30 boules, sinon nous pouvons aller jusque 48 boules ?

Je devais être fatigué, les 6 sommets du grand cube ne sont pas en contact avec le premier niveau, il n'y a pas de raison valable pour les ajouter.
Les deux choix sont donc 30 boules en contact avec au moins deux boules du premier niveau, ou 42 boules en contact avec au moins 1 boule du premier niveau.
La comparaison avec la maille hexagonale donne des résultats identiques.

[inviteaa89ac24]

Bonsoir,

je n'ai pas réussi à visualiser vos 24 carrés

je vous montre les graphes que j'ai fait en espérant qu'ils nous permettent de trouver la solution

2012-04-18 13h16_50.png



2012-04-18 18h05_14.png

[inviteaa89ac24]

http://www.casimages.com/img.php?i=1...3447199564.png

[inviteaa89ac24]

http://www.casimages.com/img.php?i=1...5151662281.png

[inviteaa89ac24]

en niveau 2 on pourrait avoir 10 sphères

en niveau 3 on pourrait avoir 3 ou 5 sphères


ça donnerait un total de 19 + 2x10 + 2x3 = 45 ou bien 19 + 2x10 + 2x5 = 49

je nage on dirait

[phys4]

Vous avez l’air beaucoup plus perdu que moi, il est vrai que ce n'est pas facile.

je suis sur du dernier résultat message 5, voulez vous la transposition dans les plans hexagonaux en attendant que vos dessins soient validés ?

C'est en comparant à la structure hexagonale que me suis aperçu d'une anomalie dans le message 4.

[inviteaa89ac24]

disons qu'un petit croquis même grossier m'aiderait. Pour le niveau pas de problème nous l'avons. Pour le niveau 2 en 2D je coince dirait-on, il me faudrait donc m'attaquer à celui-ci en priorité

[phys4]

Je vais faire le tableau de correspondance cube --> hexagone qui s'obtient en posant le cube sur une pointe.

Les lignes sont les niveaux des plans hexagonaux, et les colonnes les positions dans le cube
















La colonne C est le centre du cube = boule milieu
La colonne CFI, les 12 centres des faces intérieures qui correspondent aux 12 boules roses et jaunes de la première couche.
La colonne CFE, les 6 centres des grandes faces en contact avec 4 des boules intérieures, elles sont dans les interstices des jaunes et en contact avec les roses.
La colonne CF'E sont les 24 centres des facettes extérieures, en contact avec 2 boules intérieures, vous y retrouvez les 6 vertes du niveau 1 intercalées entre les roses, les 6 supplémentaires autour des jaunes du niveau 2 et les 3 intérieures du niveau 3 qui se déduises des 3 jaunes par rotation de 60°
La colonne CA sont les 12 centres des arêtes en contact avec une seule primaire : vous avez les 6 vertes extérieures du niveau 1 et 3 supplémentaires au niveau 3 autour des 3 précédentes de ce niveau.

Le total général fait 55 boules.
Vous pouvez modifier les niveaux 3 en y mettant 7 boules similaires au 7 primaires du niveau 1, cela devient une construction personnelle qui ne correspond pas au maillage cristallin. Vous gagnez 2 boules.

[inviteaa89ac24]

merci Phys4, là pas trop le temps mais je fait le visuel dés que possible. Très intéressant 55 ou nombre triangulaire de 10

[phys4]

Bonjour,

J'aurais du rajouter la notion de distance au centre dans ma liste.
Celle ci sont très simples :

la classe CFI qui donne la première couche de 12 correspond à une distance au centre d = diamètre d'une boule. ce qui rens cette couche facile à définir.

La seconde couche ne peut pas être définie par une seule distance, il y en a au moins 3 :
la classe CFE de 6 boules correspond à
la classe CF'E de 24 boules correspond à
la classe CA de 12 boules correspond à , ce qui montre que ces boules en contact avec une seule sont dans le prolongement direct de la première couche.

Au revoir.

[phys4]

Voici le résultat d'analyse complet du problème.
Réseau compact.pdf

[inviteaa89ac24]

Bonsoir et un grand merci pour votre document pdf.

J'étais ce week-end arrivé au constat que je bloquais au niveau visualisation graphique car j'envisageai 5 niveaux au lieu d'en envisager plus.

Et là on voit qu'en effet nous en comptons 9 niveaux.

Ce figure est pleine de développements

Merci encore phys4

[inviteaa89ac24]

Si nous avons eu un développement :

1-->6--->12 = 19 et un nbre de sphères total = à : 19 + 2(19-1) = 55

Pourrait-on dire que le niveau supplémentaire serait de :

1-->6-->12-->24 = 43 et un nbre de sphères total = à : 43 + 2(43-1) = 127

à mon avis oui.

[phys4]

Vos conclusions sont super rapides.
Pour avoir le nombre exact de sphères dans une troisième sphère, j'aurais besoin de rajouter des cubes.

Une loi générale doit varir comme le cube du nombre de couches puisque la densité moyenne des boules est constante.
Si l'on considère que la couche 0 vaut 2x1 - 1 = 1
La couche suivante 2x8 - 3 = 13
La couche suivante 2x27 + 1 = 55
La couche d'après devrait faire 2x64 -x = 128 - x

La difficulté vient du terme correctif x difficilement prévisible, ce qui est sûr, c'est la proximité de 128.