Composantes connexes relativement compactes d'un compact

[Seirios]

Bonsoir à tous,

Je me posais une petite question de topologie :

On se place dans un espace topologique X connexe et localement connexe, et on se donne un compact K dans X. On considère alors K' comme l'union de K avec les composantes connexes relativement compactes de X-K. K' est-il encore compact ?

Intuitivement, le résultat semble vrai, mais a priori je ne vois pas comment le montrer sauf dans quelques cas triviaux (lorsqu'il n'y a qu'un nombre fini de composantes connexes relativement compactes par exemple).

Une petite idée ?

Seirios

[Seirios]

En fait il y a des contre-exemples. Par exemple, si désigne dans le plan le segment de longueur r partant de l'origine avec un angle par rapport à l'axe des abscisses, alors on peut prendre et .