Limite et dérivabilité

[inviteaa34f496]

Bonjour à tous

J'ai à nouveau un soucis dans un exercice ccp ..
On a une fonction g définies sur [a,b] à valeurs réelles. g est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ sauf en xo où l'on n'a pas d'information (xo appartient à ]a,b[) .

Comment prouver que : si g'admet une limite en xo alors g est dérivable en xo et g'(xo)=lim g'(x) quand x->xo ?
J'essaye d'écrire la définition de g'(xo) comme taux d'accroissement mais ça n'amène pas très loin..


Et si on considère une fonction non définie en 0 mais prolongée par continuité en 0. Comment calculer sa dérivée en 0 et prouver sa dérivabilité en 0 ? par le taux d'accroissement ?

Merci d'avance de votre aide
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[Snowey]

C'est une bonne idée de penser à la définition, et il faut continuer dans cet esprit: quel(s) résultat(s) lie(nt) dérivée et taux d'accroissement ?


Par exemple l'égalité des accroissements finis

[inviteaa34f496]

Merci de votre réponse .
Je ne vois pas comment prouver que f est dérivable en xo avec l'égalité des accroissements finis ..
Il existe un c mais je ne vois pas comment l'utiliser ..
Et compte tenu que f n'est a priori pas dérivable en xo, on se place sur [a,xo[ ?

[invite307c5052]

Bonsoir,

tu peux appeler l la limite puis appliquer l'inégalité très puissante des accroissements finis à la fonction h donnée par h(x) = g(x) -g(x0) -l*(x-x0) après avoir fixé un epsilon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa34f496]

g' est bornée car g dérivable c'est ça ?

[inviteaa34f496]

En appliquant l'inégalité sur [x,xo] avec a>x>xo :

On a donc |h(x)-h(xo)|<|x-xo| sup|g'(x)-l|
Donc le taux d'accroissement est inférieur à sup|g'(x)-l| mais le sup tend-il vers 0 quand x tend vers xo?

Si oui : on aurait alors le taux d'accroissement de h qui admet une limite finie donc h dérivable en xo.

Comment montrer ensuite que g'(xo)=lim g'(x) quand x tend vers xo ?
h'(xo)=g'(xo)-l mais ensuite ...?

[invite307c5052]

g' ne sera pas bornée en général.Bon je me lance: soit s >0, il existe w>0 tel que si 0 < l x -x0l < w alors l g(x) - l l < s donc l h'(x) l < s donc l h(x) - h(x0) l < s* l x-x0 l si x € ]x0, x0 +w[ car g doit être supposée continue en x0; même chose à gauche

[Snowey]

Ou alors, sans poser d'autre fonction, voilà une idée (dans ma suite bien sur ^^): soit x dans l'intervalle considere (sans x0).
Appliquez (je vouvoie dans le doute ^^) l'égalité des accroissement finis sur l'intervalle [x,x0] ou [x0,x]: il existe c, dépendant de x car il est dans le premier intervalle (i.e |c-x0|<|x-x0|) tel que f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0).
On ne sait rien sur c, excepté que si x tend vers x0, alors il tend vers 0 (c'est rigoureux)
Et sachant que cela est vrai pour tout x on peut "passer à la limite" (par hypothèses, f' converge bien): on obtient la limite du taux d'accroissement (valeur et existence donc).

[inviteaa34f496]

Merci.
Le début est la définition de la limite non?

[invite307c5052]

oui car par hypothèse on a lim g'(x) = l

[Snowey]

Enfin c tend plutôt vers x0, bien sur !

[inviteaa34f496]

On ne sait rien sur c, excepté que si x tend vers x0, alors il tend vers xo (c'est rigoureux)
Et sachant que cela est vrai pour tout x on peut "passer à la limite" (par hypothèses, f' converge bien): on obtient la limite du taux d'accroissement (valeur et existence donc).

Juste un petit point que je n'ai pas saisi : lim (f(x)-f(xo))/(x-xo) vaut lim f'(x) quand x tend vers xo ? ou f'(x) tend vers lim f'(x) quand x tend vers xo ?

[inviteaa34f496]

oui car par hypothèse on a lim g'(x) = l

mais alors où utilise-t-on l'inégalité des accroissements finis ?
Pour moi on n'utilise que la définition de la limite .. non ?

[invite307c5052]

juste un mot sur la différence fondamentale entre égalité et inégalité pour les accroissements finis: l 'égalité semble certes plus puissante mais elle découle du théorème de Rolle qui n'est valable que pour les fonctions à valeurs réelles mais devient faux en général pour les fonctions à valeurs dans C ,alors que l'inégalité est valable dans tous les cas, même dans les espaces vectoriels normés de dimension finie ou non.

[inviteaa34f496]

Merci Serge1729 pour cette précision (que je n'avais jamais remarqué ...)

D'autre part, je n'ai pas compris le passage dans votre explication :
|h'(x)| < s, ça c'est bon
Mais ensuite est-ce là que vous utilisez l'inégalité des accroissements finis ?

Car on a alors : |h(x)-h(xo)|/|x-xo|< sup|h'(t)| non?


(j'essaye de comprendre les deux explications que vous proposez : ça peut toujours être utile ce genre de raisonnement =) )

[invite307c5052]

comme i h'(x) l < s l 'inégalité des acc finis dit que l h(x) - h(x0) l < s* l x-x0 l

[invite307c5052]

plus généralement ( même si l ' on peut encore affaiblir considérablement les hypothèses) si f et g sont dérivable sur un intervalle J et si pour x dans J on a :

ll f'(x) ll < g'(x) ( donc g'(x) est positif ) g est à valeurs réelles et f est à valeurs dans C ou dans un espace vectoriel normé

alors pour tout a,b € J on a ll f(b) - f(a) ll < l g(b) - g(a) l

[Snowey]

C'est vrai qu'une discussion croisée, c'est pas vraiment évident
Je n'ai pas très bien saisi la question du lim f'(x) tend vers ... ?
Lorsqu'on écrit le taux d'accroissement c'est pour montrer l'existence de f'(x0), la dérivée de f en ce point.
Cela ne signifie pas, a priori, que f' admette une limite en ce point (c'est la subtilité avec la continuité de la dérivée: prenez x^2.sin(1/x) prolongée par continuité en 0, qui est dérivable, de dérivée non continue en 0).

Mais ici, c'est une hypothèse, donc on peut s'en servir pour conclure que f'(c) tend vers l=lim f'.
Avec l'égalité, on montre alors que le taux d'accroissement tend aussi vers cette limite l.
On a donc d'une part l'existence de sa limite, et d'autre part f'(x0)=l

[inviteaa34f496]

comme i h'(x) l < s l 'inégalité des acc finis dit que l h(x) - h(x0) l < s* l x-x0 l

Mais oui !

En tout cas merci beaucoup de tous les compléments que vous proposez à chaque fois, c'est très utile

[invite307c5052]

donc sup l h'(x) l <= s donc ça marche

[inviteaa34f496]

Mais ici, c'est une hypothèse, donc on peut s'en servir pour conclure que f'(c) tend vers l=lim f'.
Avec l'égalité, on montre alors que le taux d'accroissement tend aussi vers cette limite l.
On a donc d'une part l'existence de sa limite, et d'autre part f'(x0)=l

L'exemple que vous proposez est justement la question suivante

Voilà je n'avais pas compris que f'(c) tend vers lim f'(x) quand x tend vers xo, je croyais que f'(c) tendait vers f'(xo) donc je n'aboutissais pas ..

Merci beaucoup également =)

[Snowey]

Pour Serge: ne serait-ce pas une extension d'une règle de l'hôpital (de mémoire, l'existence d'un réel c tel que g(c)( f(b)-f(a))= f(c) (g(b)-g(a)) ) ?

[invite307c5052]

Bonjour ,
En fait pas totalement en effet comme je l'ai écrit à Tripeuz, j 'ai utilisé l'inégalité des acc finis, or la preuve classique de la règle de l hôpital utilise l'égalité des acc finis puisque l 'on parle de l existence d'un réel c qui découle de Rolle .