espaces totalement discontinus

[syborgg]

connaissez vous des conditions suffisantes pour qu'un espace soit totalement discontinu, a part etre discret ou un produit de discrets ?

on sait par exemple que compact avec base d'ouverts-fermes equivaut a compact totalement discontinu, mais est ce que par exemple un espace (disons hausdorff) avec une base d'ouverts-fermes est totalement discontinu ?

sinon d'autres types de conditions suffisantes ?..

[syborgg]

pour ceux que ca interesse, je viens de m'appercevoir qu'en effet hausdorff + base d'ouverts-fermes implique totalement discontinu (donc pas besoin de compact dans ce sens..) :

si X est une partie avec plus de deux elements, on en choisit deux quelconques distincts x et y.
il existe alors deux ouverts U et V qui separent x et y.
mais comme on a une base de clopen, il existe un clopen U' contenant x et inclus dans U.
alors la trace de U' sur X decompose X en deux ouverts disjoints non vides, et X n'est pas connexe, cqfd.

en fait T1 suffit a la place de hausdorff (meme demonstration).

[syborgg]

bon decidement je suis bien seul a m'interesser a ce genre de trucs ici ...

en y repensant, je me suis rendu compte que tous les exemples d'espaces totalement discontinus qui me venaient a l'esprit ( les discrets, Q, R\Q, les espaces profinis, l'ensemble de Cantor, le groupe symetrique d'un ensemble quelconque muni de la topologie dont une base de voisinage de l'unite sont les permutations qui fixent une partie finie ), sont tous a base de clopen.

quelqu'un voit un exemple d'espace totalement discontinu sans base de clopen ?

[Seirios]

Bonjour,

La réponse est oui : http://www.math.binghamton.edu/denni...im-totdisc.pdf.

[syborgg]

super ces notes tu les as trouvees ou ?

[Seirios]

En fait, j'ai simplement fait une recherche google avec les termes totally disconnected et zero dimensional

[syborgg]

j'en avait fait une aussi mais sans succes.. encore une fois merci .