Soit R[x] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et v l'endomorphisme de R[x] défini par : v(P) = (2x+1)P-(x²-1)(dP/dx)
a)Montrer que P -> v(P) est effectivement linéaire en chercher les vecteurs propres
b)On se restreint à R2[X] (sous-espace de R[x] des polynômes de degré ou plus 2), écrire la matrice M1 de v dans la base {1,x,x²} et
dans une base de vecteurs propres (matrice M2) ainsi qu'une matrice de passage.
a) v(P) = (2x+1)P - (x²-1)P'
La dérivation est une application linéaire car [a*P+b*Q]' = a*P' + b*Q'
La multiplication de deux polynômes aussi D*[a*P+b*Q] = a*[D*P] + b*[D*Q]
L'addition de deux applications linéaires est linéaire => c'est linéaire
Dernière modification par mariogeiger ; 26/05/2012 à 13h24.
Bonjour Stameline.
D'abord lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html
Tu n'as pas besoin de nous pour vérifier les conditions de linéarité de V. Je te les rappelle :
V(P+Q)=V(P)+V(Q)
V(k.P)=k.V(P)
P, Q, V(P), V(Q), V(P+Q) et V(k.P) étant des polynômes, il te suffit de montrer que leurs expressions sont égales. Le produit externe . est ici la multiplication classique.
Pour trouver les valeurs propres (et au passage des vecteurs propres, même chose : Appliquer la définition.
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 26/05/2012 à 13h28.
Merci pour vos réponse, mais je sais comment démontrer que cette polynôme est linéaire mais j'ai trouvé des difficulté comment trouver les vecteurs propres.
j'ai besoins la solution de cette exercice car je suis null en algèbre, veuillez m'aider car j'ai un concours au début de mois 7.
"je sais comment démontrer que cette polynôme est linéaire" ????
Ecris déjà la preuve que V (qui n'est pas polynôme !!!) est linéaire. Puis rappelles-nous la définition des vecteurs propres.
Rappel : A ton concours, tu n'auras pas d'autre personne pour faire les exercices à ta place. Tu dois apprendre à les faire tous : pas en les faisant tous (il y en a des milliards), en apprenant les règles (définitions, théorèmes, méthodes, ...)
A toi de faire.
J'ai essayer de trouver les vecteurs propres dans Rinfini[x] mais j'ai pas réussi non plus, je suis curieux de savoir comme faire.
Trouver les vecteurs propres de v dans R2[x] c'est facile, tu écrit la matrice M1, tu cherche les valeurs propres en cherchant les racines (en k) de det(M1-k*I3)=0 et tu décris chaque sous-espace propre géométriquement en résolvant (M1-k*I3) X = 0.
Dernière modification par mariogeiger ; 26/05/2012 à 19h01.
Bonsoir Mariogeiger.
Parfois, utiliser la définition est une bonne idée. C'est le cas ici. En regardant ce qui se passe pour le terme de plus haut degré d'un polynôme propre, on trouve son degré. Puis en appliquant la définition, on trouve un système qui se résout bien (sachant qu'un vecteur propre est défini à constante multiplicative non nulle près : On peut prendre le coefficient dominant égal à 1).
Mais j'attends une participation de Stameline.
Cordialement.
Mon spécialité n'est pas le math mais j'ai un concours le mois 7 que je doit maitriser algèbre et Analyse de programme de prépas. et j'ai étudié Algèbre et Analyse au 2009/2010 just les bases Donc je suis très faible et j'éspère de vous m'aider pour améliorer mon niveau de math afin de réussir.
Je pense pour touver les vecteurs propres on va poser que y est un vecteur propre et A est un valeur propre donc :
v(y) = Ay
alors :
v(y) = (2x+1)y-(x²-1)y' = Ay
=> (x²-1)y' = 0
Alors tous les vecteurs qui appartient à C1 sont des vecteurs propres de cette polynôme.
j'attend votre réponse Mr.gg0 et je veux savoir comment trouver la matrice M1 dans la base {1,x,x²} et je sais que cette question est simple pour vous mais pour moi est très difficile et j'éspère que vous essayez de répondre à mes questions malgrè qu'il sont bannales.
Salut,
ton A est un réel car dans ta donné tu dit "R-espace vectoriel" (R pour réel).
donc ce que tu as écrit est faux. Je ne peux pas plus t'aider pour trouver les vecteurs propres sans fixer la dimension, je vois pas comment faire.
Par contre pour trouver la matrice M1 c'est très simple. la i ème colonne de M1 correspond à l'image du i ème vecteur de ta base.
Donc il te suffit de calculer v(1), v(x) et v(x²) pour avoir les trois colonnes de M1.
A+
Dernière modification par mariogeiger ; 27/05/2012 à 22h11.
Bon, c'est mal parti !
Car tu n'as pas compris l'énoncé ! Donc je doute que tu ais vraiment commencé l'exercice.
Avant de passer aux vecteurs propres, commence par lire vraiment l'énoncé, et par comprendre ce qu'est V. En particulier, comme toute application linéaire (ce que tu auras à prouver) c'est une application. De quel ensemble dans quel autre ? Si tu écris V(y), y est quoi ?
Ensuite, éviter d'écrire n'importe quoi, du style :
"v(y) = (2x+1)y-(x²-1)y' = Ay
=> (x²-1)y' = 0"
Là, tu dérailles carrément et déjà du début, ça n'a pas vraiment de sens (c'est quoi ce x ? On avait seulement y).
Donc commence par répondre à mes questions ci-dessus, puis utilise les réponses (il te suffit de lire vraiment l'énoncé) pour reprendre ton calcul.
Cordialement.
NB : "Alors tous les vecteurs qui appartient à C1 sont des vecteurs propres de cette polynôme." n'a aucun sens, et aucun lien avec la question. D'ailleurs sais-tu ce que veut dire vecteur ??
c'est pour cela j'ai dit que je suis null en algèbre si vous puissez me donner un cours détailler pour résolu cette exércice, et Merci pour me donner comment faire la matrice M1.
Il faut savoir !
Soit tu es nul en algèbre, et ce n'est pas la peine de préparer un concours de niveau classes préparatoires, soit tu veux passer ce concours et il va falloir devenir bon en algèbre. Dans ce cas, ce n'est pas une discussion sur un forum qu'il te faut, mais prendre un bouquin de prépa et apprendre, apprendre, apprendre. Et aussi prendre l'habitude de lire les énoncés pour comprendre de quoi ça parle.
Si tu n'es pas capable de répondre à mes questions : "De quel ensemble dans quel autre ? Si tu écris V(y), y est quoi ?", c'est soit que tu n'as pas lu l'énoncé, soit que tu ne comprends pas le sens des mots, donc qu'il faut d'abord que tu apprennes.
Je peux t'aider à traiter ce sujet si tu y mets du tiens, si tu essaies vraiment de comprendre; pas si tu te refuses à chercher à comprendre. Et je n'écrirai pas un corrigé (inutile, tu ne le comprendrais pas).
A toi de décider...
"De quel ensemble dans quel autre ? Si tu écris V(y), y est quoi ?"
y est un vecteur propre, j'ai éssayé d'appliquer la définition qui dit que si y est un vecteur propre et A est une valeur propre de v alor v(y) = yA donc j'ai essayé de résolu cette équation
et j'ai pas compris la première question
Une fonction va d'un ensemble de départ, dans un ensemble d'arrivée.
La question, c'est "Quels sont les objets de l'ensemble de départ?" et "quels sont les objets de l'ensemble d'arrivée?"
Et dire "y est un vecteur propre" alors que gg0 te demande de dire la nature de y ne répond pas à sa question. y est il un nombre entier? un nombre réel? une suite? une fonction? une classe d'équivalence?
Il faudrait peut-être aussi aller voir ce qu'est un polynôme. Eventuellement, revoir ce qu'est un espace vectoriel, une application linéaire, un endomorphisme, voire même ce qu'est une application.
Ma question est un simple décodage de la définition de V : de quoi parle-t-on ?
Cordialement.
En complément :
Ma question est un simple décodage de la définition de V :
" v l'endomorphisme de R[x] défini par : v(P) = (2x+1)P-(x²-1)(dP/dx)".
De quoi parle-t-on ? Quel abus d'écriture est utilisé ?
Il aurait été préférable de l'écrire : v(P)=Q, avec Q(x)=(2x+1)P(x)-(x²-1)(dP/dx)(x) ou mieux, v(P)=Q, avec Q(x)=(2x+1)P(x)-(x²-1)P'(x). L'auteur du sujet n'est pas très précis (en particulier le dP/dx !!) dans ses notations.
Est-ce que c'est plus clair, Stameline ?
Cordialement.
