Mathématiques et gateau d'anniversaire en ballons

[gipimax]

Bonjour a vous!
Je me pose en ce moment un problème pratique et empirique que je souhaiterais mettre en formule, mais je sèche...
tout d'abord, je me présente. J'ai 36 ans, et suis passionné par la création en ballons.(une partie de mes créations et celles d'autres amis http://www.flickr.com/photos/gipimax...7605083379406/ )
voila mon problème:
si je tresse une guirlande de duplets (deux ballons attachés ensemble par les cols) de taille différentes, j'obtiens (au bout d'un certain temps) un cercle de ballons. les ballons se fixent alors en quinconce, avec d'un point de vue visuel deux ligne de grosse perles en extérieur, et deux ligne de petite perles en intérieur, façon roue crantée, ce qui permet de les emboiter plus facilement
je cherche à modéliser une formule me permettant, en fonction du diametre total du cercle extérieur, et du nombre de ballons utilisé pour faire ce cercle (pour des raisons pratique, c'est toujours une puissance de 2) a gonfler mes deux ballons au bon diamètre..
le coté pratique, c'est que j'en ai besoin pour monter un gâteau d'anniversaire de 8m de diamètre, et sur 5 étages. Le premier étage fait 1 m de haut (soit environ 4 cercle a 512 ballons, ou 4 cercle à 256 ballons suivant la taille des ballons, plus 2 cercle concentrique pour faire la marche du gateau) j'estime le nombre de ballons au final a 10000 ballons maximum, et 7000 de manière optimum. Autant dire que, si je suis sur 512 ballons par cercle au départ, ça ne va pas être possible...mais d'un autre coté, au niveau taille de ballons, les 11" sont relativement bon marché, les 16" coutent près du double, et il faut encore doubler pour arriver aux 24" (et mettre 2500 ballons a 1€ piece, c'est rude)

Pour le moment, les connaissance que j'ai en mathématique m'on permis d'estimer le gonflage extérieur, mais je sèche pour mon gonflage des intérieurs...
si jamais une bonne ame ayant la bosse des maths pouvait m'aider!

merci d'avance!!

[Dlzlogic]

Bonjour,
C'est marrant votre truc.
J'ai tracé un cercle. A l'extérieur un gros ballon, et à l'intérieur le petit du duplet.
Puis, j'ai tracé le duplet voisin.
Pour chaque duplet, la droite des centres passe par le centre du cercle, et aussi la tangente commune aux ballons.
Pour 1 duplet, on 2 triangles rectangle dont il est facile de calculer toutes les dimensions.La valeur du petit angle est égale 2 pi / N / 2, soit pi/N, si N est le nombre de duplets.
Pour l'étage suivant, c'est un peu plus compliqué, mais on peut considérer que le centre des gros ballons de l'étage e+1 sera au-dessus de la liaison du duplet juste inférieur, en vertu du fait que la différence de diamètre peut être négligée par rapport au rayon total.
Pour bien voir les choses, le mieux est de faire des dessins.

[gipimax]

Merci beaucoup pour la reponse...

Du coup, j'ai retrouvé les bonnes proportions pour mon cercle.... au niveau de la taille de mes ballons... Reste un autre problème.
Il me faut maintenant calculer le temps de gonflage de mes ballons.
Je dispose de deux machines qui permettent de gonfler des ballons au dixième de seconde. l'une se branche sur un compresseur, et je peux régler la pression d'air simplement, l'autre est tout-en-un, mais non réglable.
Du coup, j'ai un double probleme:
Comment calculer le volume d'air de mes ballons, sachant (ce serai trop simple) qu'ils sont plutôt en forme de poire que d'orange, et qu'ils ne se gonflent pas de manière uniforme...(ça serai vraiment trop simple) en gros pour un diamètre inférieur au 2/3, ils sont rond, puis se forment en poire... ?
comment calibrer ma machine automatique, et connaitre en dixième de seconde le réglage pour mes machines... (en considérant la pression exercé par le ballon comme négligeable) ?

Merci d'avance!

[gipimax]

petit up, si jamais quelqu'un peut m'aider sur cette deuxième partie du problème ....

[Dlzlogic]

Bonjour,
Désolé, je vous avais oublié.
Le problème n'est pas simple, puisque les trois valeurs Volume, Pression et Température sont parfaitement liées pour les gaz.
Autrement dit, il me parait parfaitement illusoire de vouloir calculer de façon théorique le temps de gonflage, puisque ce temps dépend de la température de l'air et de la pression atmosphérique.
Voilà comment je procèderais.
Pour chaque dimension voulue, il doit y en avoir 3 ou 4, je ferais un cylindre avec du papier fort, à la dimension du rayon voulu.
En début de l'opération de gonflage, je mesurerais le temps de gonflage nécessaire, au condition pression-température actuelles. Petit contrôle de temps en temps, et ça devrait marcher.
Sinon, le calcul est simple :
Le volume d'un ballon est V = 4/3 pi R^3, tant qu'il a la forme d'une orange.
Le temps de gonflage est T = V / Q où Q est le débit de votre machine.

Quand ce sera le jour, j'espère que vous mettrez une photo sur le forum.

[gipimax]

Merci pour la réponse...
je vois.... je n'avais pas pensé a la dilatation de l'air... (de quel ordre est la différence de volume entre une chaude journée d'été à 35° et un dimanche pluvieux d'automne à 12°?) (les ballons, c'est élastique... du coup, une variation de 10% est plutôt "admise")
Maintenant, si je place une notion de ballon "étalon", en début de gonflage, (par exemple, je gonfle un ballon à T=une seconde, et je mesure précisément son diamètre=2R) cela pourrait résoudre en partie mon problème... j'obtiendrai alors une constante Q' correspondant à Q*variable atmosphérique, non?? et j'ai alors Q'=4/3 pi R^3
dans ce cas, puis-je résumer mon équation par D= 2 (3 T Q' / 4pi)^-3 ??
et T= 4 pi R^3/(3Q') ??
Enfin, sur mon problème de ballons qui se transforment en poire progressivement, en imaginant que je fasse des relevés de diamètre et hauteur du ballon (du col au top), comment créer une équation correspondant à la courbe de temps de gonflage/diamètre??
ouff je ne pensais pas que mon retour aux maths que je n'ai pas pratiqué depuis plus de 15 ans serai aussi concret et compliqué...
encore merci pour ton aide dlzlogic! si le gateau deviens concret, je le posterai ici... en attendant, voici le requin que j'ai réalisé en octobre dernier, en utilisant la même technique, mais de manière nettement plus empirique
IMG_4448 par gipimax, sur Flickr

[Dlzlogic]

Bonjour,
Vraiment bien, votre requin.
Il est possible que ma réponse vous étonne, mais je suis sûr de ma logique : il faut laisser les équations de côté. Elles sont nécessaires un temps, mais pas plus. Sur un autre forum, il y a des super-matheux qui ne réagissent qu'à coup de calculs, équations théories, et qui sont complètement à côté de la plaque. Je me souviens d'un truc amusant, dans un conteste industriel et donc professionnel, il y a eu une question très précise. Très vite il y a eu des réponses avec des équation aussi longues que compliquées et en tout cas inapplicables puisqu'on ignorait certains détails du projet.
Après quelques échanges qui ont permis de savoir ce dont il s'agissait, on s'est rendu compte que si le système réussissait à démarrer, il allait forcément exploser.

Voilà ce que je vous conseille.
Vous faites deux ou trois calculs pour avoir un ordre d'idée du temps de gonflage, ceci uniquement pour préparer le graphique.
Le but est de pouvoir tracer une courbe du temps de gonflage idéal en fonction du diamètre voulu. Chacun de vos essais vous donnera un point sur votre graphique. La liaison de ces points en considérant la courbe la plus régulière possible en passant à proximité des points, vous permettra de fixer le temps de gonflage pour un nouveau diamètre.
Pour donner un ordre d'idée la variation de volume pour des variation de température "normales" peut atteindre 10%.

[gipimax]

bonjour!
Tout d'abord, merci pour l'aide déjà apporté! le gâteau d'anniversaire va bien avoir lieu! les photos serons ici a partir du 3 octobre!

Je suis désormais sur un autre projet... L'idée, toujours à l'aide de mes duplets, est de fabriquer un dôme géodésique...
Du coup, je suis a la recherche d'une formule me permettant de calculer le rayon des cercles inscrits des pentagones et hexagones contenus dans une sphere géodesique de type (3.1) et (4.0) dans leur versions dual
http://www.mathcurve.com/polyedres/geode/geode.shtml

Si quelqu'un a une idée, je vous remercie d'avance!!!

[Dlzlogic]

Bonjour,
D'abord, j'ai hâte de voir votre gâteau d'anniversaire.
Pour le dôme géodésique, il y a eu quelque temps une telle chose qui a été construite en verre, avec un peu d'armatures métalliques comme vitrine à l'opéra Garnier (l'air des bijoux en hommage à Hergé). Le rayon était de plusieurs mètres. Si vous voulez je peux rechercher ce que j'ai. C'était un dôme type "ballon de foot", c'est à dire que les armatures faisaient le contour des pentagones et de hexagones, Les triangles intérieurs étaient en verre collés par la tranche.

Il est évident que une fois construit, c'est auto-portant, mais il faut réussir à le construire. Donc, pour l'instant, j'imagine pas trop bien votre truc.

Cordialement.

[gipimax]

merci pour la réponse!

concernant les constructions en dôme, le net regorge de constructions et de références, avec même des sites "do it youself" comme celui ci http://www.desertdomes.com/
Mon problème, c'est que les triangles ressemblent que très peu aux ballons... contrairement aux hexagone et pentagone...

Pour l'instant, j'ai déjà compris le concept de base... Mes pentagones sont au nombre de 12, quelque soient le nombre d'hexagones. sur le modele "ballon de foot" les hexagones sont réguliers... mais après, ça se complique...
Pour la construction "ballon de foot", j' ai trouvé sur le net suffisamment de pistes pour connaitre les rapport entre mes différents ballons...(en utilisant la même méthode qu'avec le gâteau , encore merci!) Mais la taille de mes ballons m’empêche d'avoir la dimension désirée (en fait le tout me servira a fabriquer le LEM pour un thème "espace"... Dimensions: 3m50*3m50*3m20...la sphère en haut doit être d'un diamètre de 2 m environ) 1000 ballons environ

Bref, là ou j'en suis dans mon problème, c'est d'une part, comment convertir ces différents triangles en hexagones et pentagone, (quelles triangles regrouper pour avoir un résultat probant!) et ensuite, comment, en connaissant les différentes diagonales d'un hexagone irrégulier, en retrouver le diamètre du cercle inscrit...

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai peut-être un peu compris le problème.
Soit un triangle, il détermine donc un plan. On veut le remplir de ballons, mais comme on travaille en plan, on est ramené à des cercles. Comment s'agencent les cercles dans les triangles?
Si on appelle 'r' de rayon du cercle inscrit, alors S = p.r, p étant le 1/2 périmètre.
Pour un triangle équilatéral, le cas du dôme à très peu de chose près, de côté 'c'.
p = 3/2 c.
S = c/2 . c /2 . racine(3)
d'où r = S/p = c . racine(3) /6
soit r = c x 0.3 à très peu ce chose près.
Comme les triangles sont équilatéraux, les cercles sont tangents, mais comme on est dans l'espace et que les ballons vont deux par deux, en est-il de même ? Je n'en sais rien.
Cordialement.