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Matrice d'une forme quadratique q

  1. paslabossedesmath

    Date d'inscription
    mai 2010
    Messages
    29

    Matrice d'une forme quadratique q

    Bonjour tout le monde !

    Alors me voila devant un problème qui me pose... problème. C'est une matière d'il y a 3 ans et je suis complètement bloqué pour ces deux questions ! J'ai essayé de m'y retrouver dans mes bouquins mais je me suis fait peur J'ai l'impression d'avoir tout oublié !

    Est-ce que vous pourriez m'aider à le résoudre svp ? Je vous remercie d'avance pour toutes personne prenant la peine de lire ce message.


    -4 -2 -4
    -2 -1 4 = A = Matrice d'une forme quadratique
    -4 4 -4

    question 1 : déterminer q(x,y,z)
    question 2 : donner une forme réduite de q et en déduire la signature de q

    -----

    Dernière modification par paslabossedesmath ; 13/07/2012 à 11h43.
     


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  2. Linkounet

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    393

    Re : Matrice d'une forme quadratique q

    1) q(x,y,z) est obtenu en multipliant la matrice à droite par le vecteur colonne (x,y,z) puis en prenant le produit scalaire du vecteur obtenu avec (x,y,z). Ceci est une conséquence de la définition d'une forme quadratique via les formes bilinéaires et leurs représentations avec des matrices mais tu peux te contenter de l'admettre.

    2)Il faut appliquer l'algorithme de réduction des formes quadratiques de Gauss, la signature (p,q) est le nombre p de carrés positives et q de carrés négatifs, si tu as oublié cette réduction, j'ai un document utile :

    http://www.math.jussieu.fr/~polo/L2/...70-2012new.pdf paragraphe 5.2.2
    Dernière modification par Linkounet ; 13/07/2012 à 11h56.
     

  3. paslabossedesmath

    Date d'inscription
    mai 2010
    Messages
    29

    Re : Matrice d'une forme quadratique q

    Bonjour Linkounet ! Merci de ta réponse mais malheureusement les choses ne sont pas plus clair pour moi à ce niveau là J'ai du être malade pendant que le prof parlait de ce chapitre il y a trois ans.

    Est-ce que ce serait possible de me donner un peu plus de détail pour la solution ? Je me suis renseigné sur le net comme je pouvais mais je suis toujours perdu.

    Je remercie d'avance tout ceux qui pourront m'aider !
     

  4. Bruno

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Localisation
    Noordwijk
    Âge
    28
    Messages
    3 805

    Re : Matrice d'une forme quadratique q

    La forme matricielle est juste une autre façon d'écrire l'expression de la forme quadratique, càd qu'on cherche à écrire q(x,y,z) de cette façon:



    Pour la réduction, c'est juste l'application d'une recette dont l'idée est de regrouper des termes pour en sortir un carré parfait + un reste. Par exemple: . L'explication est peut-être un peu absconse dans le lien de Linkounet, en gros on commence par traiter tous les puis les produits "mixtes" (xy, yz, ...) restants, c'est bien expliqué ici: http://www.math.univ-montp2.fr/~vire...Gauss-2012.pdf (page 2)
    « Il faut dire la vérité, mais on peut l'arranger. » -- Emily Dickinson
     


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