Invariants par Homéomorphisme

[invite76543456789]

Bonjour,
En topologie algébrique on construit tout un tas d'invariants associés a un espace. Tous les invariants que je connais sont en fait des invariants d'homotopie (en general c'est plutot le type d'homotopie d'un espace que sa classe d'homeomorphie qui nous interesse).
Mais y a t il des invariants plus fins, qui differencie les espaces a homéomorphisme pres, et pas a equivalence d'homotopie (des invariants assez fins, sinon dans de nombreux cas on dispose d'une dimension, qui n'est pas un invariant d'homotopie, mais c'est un invariant tres grossier)?
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[Sylvestre]

Salut,

Regarde du côté des classes de Chern, Pontryagin et Withney du fibre tangent. Elles permettent de différencier des classes de diffeomorphisme. C'est toutefois plus fin que des classes de homéomorphisme.

Je n'ai pas de temps pour développer plus. Peut-être à plus tard.

[invite7512668d]

Salut,

@MissPacMan le cardinal d'un espace topologique est invariant par homéomorphisme mais pas par homotopie.

@Sylvestre Il me semble que dans ce que tu proposes, c'est juste que deux espaces peuvent être homéomorphes sont que leurs fibrés tangents soit isomorphes. Les classes caractéristiques sont des invariants d'homotopie du fibré et ne jouent la dedans qu'un role accessoire.

[invite7512668d]

PS: Comme un invariant topologique qui n'est pas préservé par homotopie, il y a l'orientabilité (ou plutot l'espace des sections globales du faisceau d'orientation) qui est assez différent de la notion de cardinal/dimension. Il distingue par exemple le ruban de Mobius d'un cyclindre alors que les deux sont homotopes à un cercle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sylvestre]

Les invariants que je proposent sont des invariants des fibrés tangents. Comme le fibré tangent n'est défini que pour des variétés différentiables, ces invariants (classes d'Euler, Pontryagin, Chern et Stiefel-Withney) sont des invariants portant sur les classes de difféomorphismes. Ce sont d'ailleurs les classes de Pontryagin qui ont permis à Milnor de détecter des variétés homéomorphes à la sphère S^7, mais non difféomorphes à S^7. Voir par exemple, l'article de Milnor de 1956 "On manifold homeomorhpic to the 7 sphere".

[toothpick-charlie]

@MissPacMan le cardinal d'un espace topologique est invariant par homéomorphisme mais pas par homotopie.

il me semble que le cercle et le plan privé d'un point ont même cardinal (pour prendre un exemple). En fait toutes les variétés de de dimension finie >0 sur R ont même cardinal, celui de R.

[invite7512668d]

Je ne sais pas ce que tu as cru comprendre dans la phrase que tu cites mais elle signifie deux choses:
(1) Deux espaces topologiques homéomorphes ont même cardinal. C'est évident car un homéomorphisme est une bijection.
(2) C'est faux si on remplace "homéomorphes" par "homotopiquement équivalents". Par exemple, la droite réelle et un point sont homotopiquement équivalents mais ils n'ont pas le même cardinal.

[toothpick-charlie]

je crois que j'avais bien compris. Mais je persiste à penser que le cardinal n'est pas un invariant très discriminant.

[invite7512668d]

Tu as raison c'est moi qui n'avait pas vu que MissPacMan cherchait des exemples d'"invariants fins".

[0577]

Bonsoir,
un exemple d'invariant topologique mais pas homotopique est la torsion de
Reidemeister. Soit X un complexe simplicial fini et son revêtement universel.
On peut considérer le complexe de chaînes
sur lequel agit naturellement le groupe fondamental .
Soit V une représentation de dimension finie de
telle que le complexe
soit acyclique (pas d'homologie en degré >0). Dans ce cas, l'identité de ce complexe
est homotope à 0, soit h une telle homotopie de chaînes: dh +hd =1.
Alors on peut montrer que d+h est un isomorphisme de la partie de degré impair de ce
complexe sur la partie de degré pair et on définit T(X,V) comme étant le déterminant de cet
isomorphisme, c'est la torsion de Reidemeister de X relativement à V.

T(X,V) étant défini à partir d'une donnée simpliciale, il est clairement invariant sous
PL-homéomorphisme. En fait, il est même invariant sous homéomorphisme (ce n'est
pas simple à démontrer ...)
T(X,V) n'est pas invariant sous équivalence d'homotopie. La torsion de Reidemeister permet
(et a été inventée pour) de classifier les espaces lenticulaires de dimension 3
(les quotients de par une action libre d'un groupe cyclique fini) à homéomorphisme près alors que certains
ont le même type d'homotopie.