Filtre, structure uniforme et topologie

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'avais promis il y a quelques mois d'écrire un petit document sur l'utilisation des filtres en topologie, en voici donc le premier chapitre ; si cela intéresse suffisamment de personnes, je continuerai à poster les autres chapitres que je suis en train d'écrire.

Ma principale référence est le Bourbaki de topologie générale, mais je vais essayé d'être moins "sec".

J'ai essayé d'être pédagogue dans l'introduction, donc n'hésitez pas à critiquer les points qui ne vous semblent pas très clair.
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[invited73f5536]

Bonjour,

Je n'ai pour l'instant parcouru que superficiellement le texte. Je le lirai plus en détails plus tard.

Mes premières impressions :

- Je n'ai pas lu le texte de Bourbaki sur les filtres, mais j'ai appris cette notion dans le dernier chapitre du livre "Topologie et Analyse" de G. Skandalis. Je te trouve ta présentation assez proche de celle-ci.
- Peut-être qu'il serait préférable de donner aussi la définition de l'image d'un filtre par une application. (et ne pas se contenter seulement des bases de filtres)
- Dans l'exercice 7, il s'agit des mesures de probabilité à valeurs dans {0,1}.
- En lisant l'introduction, tu sembles dire que dès qu'on a associé un filtre F_x basé en x à tout point x, on dispose d'une topologie dont l'ensemble des voisinages de x est donné par F_x. Il me semble que c'est faux, et qu'il faut imposer une certaine condition de compatibilité entre les différentes filtres.
- En français, on parle plus de "suites généralisées" que de "nets", il me semble.
- Quelques fautes de frappe : "la notion de proximité et proche" page 5, "sufissante" page 12, "pour ce filtre soit" page 13, exo 5.

[Médiat]

Bonjour,

Je vais lire avec beaucoup d'intérêt, mais j'ai d'avance une question : envisagez-vous d'étendre le sujet jusqu'à la "Topologie sans point" ?

[Seirios]

- Peut-être qu'il serait préférable de donner aussi la définition de l'image d'un filtre par une application. (et ne pas se contenter seulement des bases de filtres)

Il n'y a en fait aucune restriction : les filtres sont des exemples de bases de filtres.

- Dans l'exercice 7, il s'agit des mesures de probabilité à valeurs dans {0,1}.

Je corrige.

- En lisant l'introduction, tu sembles dire que dès qu'on a associé un filtre F_x basé en x à tout point x, on dispose d'une topologie dont l'ensemble des voisinages de x est donné par F_x. Il me semble que c'est faux, et qu'il faut imposer une certaine condition de compatibilité entre les différentes filtres.

Si l'on définit les ouverts comme étant les parties contenant un voisinage de chacun de leurs points, on vérifie bien la définition d'une topologie, je ne vois pas de problème.

- En français, on parle plus de "suites généralisées" que de "nets", il me semble.

Effectivement, wikipedia semble d'accord, je le modifierai.

- Quelques fautes de frappe : "la notion de proximité et proche" page 5, "sufissante" page 12, "pour ce filtre soit" page 13, exo 5.

Merci, je corrige.

envisagez-vous d'étendre le sujet jusqu'à la "Topologie sans point" ?

A vrai dire, c'est la première fois que j'entends parler de topologie sans point...Mais si cela est pertinent, je peux toujours essayer de rajouter quelques mots sur le sujet ; en quoi cela consiste-t-il ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

A vrai dire, c'est la première fois que j'entends parler de topologie sans point...Mais si cela est pertinent, je peux toujours essayer de rajouter quelques mots sur le sujet ; en quoi cela consiste-t-il ?

Quoi, mais alors vous n'avez pas lu le document sur les ensembles de nombres dont vous êtes co-signataires . (document d'ailleurs piraté là : http://mathsci.kaist.ac.kr/~tambour/...de_nombres.pdf, par un français sur un site Koréen, le début de la gloire ).

Vous pouvez regarder là (pour un survol) : http://www.math.ucdavis.edu/~gooding.../Pointless.pdf, ou une courte introduction http://www.math.harvard.edu/~waffle/pointless.pdf.

Sinon sur le net il y a plein de références

[invited73f5536]

Il n'y a en fait aucune restriction : les filtres sont des exemples de bases de filtres.

Certes, mais on conclut alors seulement que l'image est une base de filtres, alors qu'elle est en fait un filtre. Bon, après, c'est du détail ...

Si l'on définit les ouverts comme étant les parties contenant un voisinage de chacun de leurs points, on vérifie bien la définition d'une topologie, je ne vois pas de problème.

Certes, on obtient une topologie, mais peut-on vérifier que l'ensemble des voisinages de x est bien donné par le filtre qu'on s'est fixé au départ ? C'est quand même là le point le plus important.

[Seirios]

Si l'on se donne en tout point x un filtre , on définit la topologie . Le filtre de voisinages de x dans est l'ensemble des parties contenant un ouvert contenant x. On a toujours , mais il arrive que l'inclusion soit stricte.

Par exemple, si dans on associe à un point en dehors des axes son système fondamental de voisinages usuel, à un point sur l'axe des abscisses le filtre engendré par les , , et à un point sur l'axe des ordonnées filtre engendré par , alors est un élément de mais pas de .

En fait, équivaut à : tout élément contient un second élément tel que pour tout , il existe tel que .

Par contre, cette condition sera systématique vérifiée lorsque l'on se donnera une structure uniforme.

Je vais voir si je peux ajouter cette condition dans l'introduction sans que cela paraisse trop tordu.

[Seirios]

Quoi, mais alors vous n'avez pas lu le document sur les ensembles de nombres dont vous êtes co-signataires .

Pour une seule note en bas de page dans tout le document, vous êtes dur

Vous pouvez regarder là (pour un survol) : http://www.math.ucdavis.edu/~gooding.../Pointless.pdf, ou une courte introduction http://www.math.harvard.edu/~waffle/pointless.pdf.

Mentionner la topologie sans point dans mon document (qui finalement ne fait que reformuler les résultats classiques de la topologie en terme de filtres) me paraitrait trop marginal pour que cela soit vraiment bénéfique, donc je ne pense pas le faire.

[Médiat]

Pour une seule note en bas de page dans tout le document, vous êtes dur

Ce n'était vraiment qu'un clin d'oeil, dû surtout au fait que j'ai découvert cette vision de la topologie lors de l'écriture de ce chapitre.

Mentionner la topologie sans point dans mon document (qui finalement ne fait que reformuler les résultats classiques de la topologie en terme de filtres) me paraitrait trop marginal pour que cela soit vraiment bénéfique, donc je ne pense pas le faire.

Pas de problème.

Je suis en train de lire et relire votre document, je vous ferai part de mes remarques demain sans doute.

[Médiat]

Bonjour Seirios,

Comme promis, quelques remarques après cette excellente lecture :

1. Il y a plusieurs pages vides, apparemment sans raison
2. Page 5 : « la notion de proximité est proche » deux mots de même famille, j’écrirais plutôt « la notion de proximité est voisine » (ce qui justifie le vocabulaire à venir)
3. Page 5 : « n’aurions rien apporter » au lieu de « n’aurions rien apporté »
4. Page 5 : « à approfondire » au lieu de « à approfondir »
5. Sur certaines pages le N° de page est centré dans le pied de page, sur d’autres il est à gauche de l’en-tête de page.
6. Page 6, 7 et 8 : Le titre dans l’en-tête de page est « TABLES DES MATIERES » au lieu de « INTRODUCTION »
7. Page 6 : « d’un point par une base fondamentale », je mettrais plutôt « d’un point à l’aide d’une base fondamentale » (ou avec …)
8. Page 6 : « si elle contient », je mettrais plutôt « si elle inclut »
9. Page 6 : Je trouve que « Dès lors, la topologie de notre espace est entièrement déterminée » est un peu rapide
10. Page 7 : « de Cauchy convergeront » au lieu de « de Cauchy convergent »
11. Page 7 : « la notion de net », je mettrais plutôt « la notion de suite généralisée »
12. Page 10 : en bas de page vous parlez du « lemme de l’ultrafiltre », à ma connaissance il est surtout connu comme « axiome de l’ultrafiltre », puisque c’est un axiome moins fort que l’axiome du choix.
13. Page 11 : il serait sans doute intéressant de rappeler la définition d’une chaîne (note en bas de page).
14. Page 11 : « Alors » au lieu de « Alors »
15. Page 11 : « propriété 9 », je pense qu’il s’agit plutôt de « propriété 1.11 »
16. Page 13 : je mettrais plutôt l’exercice 5 (qui définit le filtre de Fréchet) avant le 3 (qui utilise le filtre de Fréchet)
17. D’une façon générale, je trouve que vos paragraphes contenant des démonstrations manquent un peu d’air, ils seraient sans doute plus faciles à lire avec des sauts de ligne plus fréquents.

En tout état de cause, merci et bravo.

[invited73f5536]

La définition de se simplifie en .

Je connaissais la condition suivante : pour tout , il existe tel que entraine que .

Je pense qu'il vaut mieux éviter les détails "techniques" dans l'introduction, et réserver ça pour le coeur du document.

[Seirios]

Voici la deuxième version avec un peu (beaucoup ?) de retard, ce qui clôt la partie sur la topologie à proprement parlé ; le reste portera sur les structures uniformes. Cela dit, avec la rentrée universitaire, je ne rédigerai probablement pas la suite avant quelques mois.