La notion de distance en géométrie affine euclidienne

[Le petit belge]

Bonjour,

Je suis étudiant en sciences physique (1ere BAC), ma question paraîtra certainement très simple à vos yeux, mais j'ai pensé qu'il était intéressant de s'y attarder.

Dans un espace affine euclidien, on définit la distance entre 2 points A et B comme étant la norme du vecteur AB. La norme d'un vecteur est obtenue en prenant la racine carrée du produit scalaire <AB, AB>. A moins d'une erreur de ma part, la norme de AB dépend du produit scalaire que l'on définit (par exemple, dans R^n, on pourrait très bien définir un produit scalaire différent du produit scalaire canonique). Ainsi, si l'on veut déterminer la distance entre A et B, on aura une valeur différente selon le produit scalaire choisi... Je trouve cela quelque peut perturbant par rapport à l'intuition que nous avons de la notion de distance, pas vous?

D'avance merci pour votre réponse.
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[Médiat]

Bonjour,

Ainsi, si l'on veut déterminer la distance entre A et B, on aura une valeur différente selon le produit scalaire choisi... Je trouve cela quelque peut perturbant par rapport à l'intuition que nous avons de la notion de distance, pas vous ?

Non pas perturbant du tout, c'est sans doute là une différence entre physique et mathématique, être perturbé par un résultat est quasiment une faute professionnelle pour un mathématicien .

A tout hasard, vous pouvez regarder la distance Manhattan, et vous constaterez que, finalement ce n'est pas forcément perturbant

[Paraboloide_Hyperbolique]

Au début cela peut paraître perturbant. La distance euclidienne étant la plus intuitive. Mais au fond, rien n'interdit de définir une distance autrement et c'est même parfois très utile.

Il existe d'autres distances dérivées par exemple de la norme "infinie": , qui ne dérive même pas d'un produit scalaire:



Une distance se doit cependant de respecter trois critères pour être qualifiée comme telle: http://fr.wikipedia.org/wiki/Distanc...%A9matiques%29

[Le petit belge]

C'est pour ça que j'adore les maths, on fait ce qu'on veut avec tout ce qu'on veut! Ca permet de se détacher de certaines intuitions persistantes.

Merci pour vos réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Même en physique,

la notion de distance dépend fortement ... des unités choisies.

Cordialement.

[Tryss]

Et le pire c'est dans les espaces vectoriels de dimension infini.

On pourrait penser que si deux points A et B se rapprochent pour une distance (qui tend alors vers 0), ils se rapprochent pour toutes les distances possibles. Et c'est bien le cas pour les espaces de dimension finie.

Par contre ça n'est plus vrai pour les espaces de dimension infinie

[Le petit belge]

SUITE

Bien le bonjour!

Après avoir étudié ma géométrie en profondeur, je me suis lancé dans l'analyse. En feuilletant les quelques 1eres pages du cours qui traitent de l'espace euclidien Rn... J'ai déjà une question:
Par l'appellation "espace euclidien Rn", parle-t-on d'espace affine euclidien Rn ou bien d'espace vectoriel Rn? (Je demande cela car les éléments de de Rn dont appelés "points de Rn", comme s'il s'agissait d'un espace affine. Cependant, on parle de produit scalaire entre ces éléments, opération entre vecteurs...)

Malgré cette petite hésitation, j'ai courageusement décidé de me lancer dans la suite de ce magnifique ouvrage. Quelques pages plus tard, je suis tombé de ma chaise . On donne la définition de distance comme étant une application possédant quelques propriétés... Seulement, dans mon cours de géométrie, on définissait la distance entre 2 points comme étant la norme du vecteur joignant les 2 points (voir tout premier message de cette discussion).
Quelle définition est la bonne?
Quelle est la différence entre un espace métrique et un espace affine euclidien?
Peut-on dire que tout espace affine euclidien est un espace métrique? Si oui, pourriez-vous donner un exemple d'espace métrique qui ne soit pas un espace affine?

Comme vous pouvez le constater, mon problème provient principalement du fait que j'ai du mal à faire la transition entre géométrie et analyse pour certaines notions (cela vient probablement du fait que j'apprends cette matière par moi-même )

[Tryss]

Par l'appellation "espace euclidien Rn", parle-t-on d'espace affine euclidien Rn ou bien d'espace vectoriel Rn? (Je demande cela car les éléments de de Rn dont appelés "points de Rn", comme s'il s'agissait d'un espace affine. Cependant, on parle de produit scalaire entre ces éléments, opération entre vecteurs...)

C'est plus ou moins équivalent,une fois l'origine fixé.

On peut identifier le point M au vecteur OM

On donne la définition de distance comme étant une application possédant quelques propriétés... Seulement, dans mon cours de géométrie, on définissait la distance entre 2 points comme étant la norme du vecteur joignant les 2 points (voir tout premier message de cette discussion).

La définition de la distance comme une application vérifiant certaines propriétés est plus générale (il y a des distances qui ne dérivent pas de normes)

Quelle est la différence entre un espace métrique et un espace affine euclidien?
Peut-on dire que tout espace affine euclidien est un espace métrique? Si oui, pourriez-vous donner un exemple d'espace métrique qui ne soit pas un espace affine?

La notion d'espace métrique est beaucoup plus générale que celle d'espace affine euclidien.

Entre autre, on peut mettre une distance sur autre chose que des espaces vectoriels. Même si il n'y a pas d'opérations entre les éléments.

Par exemple on peut mettre une distance sur l'ensemble des mots d'un langage (ça n'a pas de sens d'additionner ou de soustraire deux mots).

[Le petit belge]

Merci, tout parait beaucoup plus clair à présent... Je vais pouvoir continuer ma route

[Paraboloide_Hyperbolique]

SUITE
Malgré cette petite hésitation, j'ai courageusement décidé de me lancer dans la suite de ce magnifique ouvrage. Quelques pages plus tard, je suis tombé de ma chaise . On donne la définition de distance comme étant une application possédant quelques propriétés... Seulement, dans mon cours de géométrie, on définissait la distance entre 2 points comme étant la norme du vecteur joignant les 2 points (voir tout premier message de cette discussion).
Quelle définition est la bonne?
Quelle est la différence entre un espace métrique et un espace affine euclidien?
Peut-on dire que tout espace affine euclidien est un espace métrique? Si oui, pourriez-vous donner un exemple d'espace métrique qui ne soit pas un espace affine?

Comme vous pouvez le constater, mon problème provient principalement du fait que j'ai du mal à faire la transition entre géométrie et analyse pour certaines notions (cela vient probablement du fait que j'apprends cette matière par moi-même )

Bonjour,

La bonne définition de distance est celle d'une application possédant quelques propriétés. De toute norme on peut dériver une distance, il suffit de poser pour une norme quelconque:



Cependant, toute distance ne dérive pas forcément d'une norme.

D'autre part, un espace métrique est un espace muni d'une mesure de distance. Un espace euclidien est muni d'un produit scalaire. Tout espace euclidien est métrique puisque l'on peut dériver une norme d'un produit scalaire (en posant ), norme de laquelle on peut dériver une distance. Cependant, tout espace métrique n'est pas forcément un espace euclidien; puisque toutes les distances ne dérivent pas d'une norme et encore moins d'un produit scalaire.