Comment résoudre sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=cos(x)-cos(2x)+cos(3x)-1?

[NathanS-7]

Bonjour,

Je prépare un examen d'admission à une école et je révise la trigonométrie mais j'ai du mal avec cette équation.

J'ai pensé à regrouper les sin(x) et sin(3x), et les cos(x) et cos(3x) pour appliquer les formules de Simpson mais après je sais pas trop quoi faire...

Voici ma réponse jusq'à présent:

sinx + sin2x + sin3x = cosx - cos2x + cos3x -1

<=> sinx + sin2x +sin3x - cosx + cos2x -cos3x + 1 = 0

<=> (sinx + sin3x) + (cosx - cos3x) + sin2x + cos2x +1 = 0

<=> (2.sin2x.cosx) + (2.sin2x.sinx) + sin2x + cos2x + 1 = 0

Et à partir de là je ne sais pas quoi faire...

J'ai essayé de décomposer le sin2x (=2.sinx.cosx) et le cos2x (=cos²x - sin²x) et le 1 (=cos²x + sin²x) mais à chaque fois j'aboutit à un résultat, certes factorisé, mais qui ne me permet pas de trouver toutes les solutions.

J'apprécierai tout conseil!
Merci!
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[NathanS-7]

Ca commence bien! Erreur de signe que j'ai rectifié ...

sinx + sin2x + sin3x = cosx - cos2x + cos3x -1

<=> sinx + sin2x +sin3x - cosx + cos2x -cos3x + 1 = 0

<=> (sinx + sin3x) - (cosx + cos3x) + sin2x + cos2x +1 = 0

<=> (2.sin2x.cosx) - (2.cos2x.cosx) + sin2x + cos2x + 1 = 0

[God's Breath]

Bonjour,

Le plus sûr est de passer en exponentielles complexes ; sauf erreur de calcul :



et, en posant : , on est ramené à résoudre l'équation polynomiale :

[God's Breath]

Le polynôme obtenu admet une factorisation élégante et on est ramené à résoudre :

[A voir en vidéo sur Futura]

[NathanS-7]

Hum...oui mais cela me parait bien compliqué...on m'a insisté qu'on pouvait la résoudre qu'avec des formules de trigo de base. (Notamment formules de simpson et formules de l'angle double)

[NathanS-7]

Bon, j'arrive à un point où on a:

2sin(3x/2) . [cos(x/2) + sin(x/2)]

On a donc sin(3x/2) = 0 <=> x = 2.k.pi/3 OU "cos(x/2) + sin(X/2) = 0". A présent c'est cette deuxième partie que je ne sais pas résoudre...

[gg0]

Bonsoir.

Transforme en l'égalité de deux sinus ou de deux cosinus (pense au complémentaire).

Cordialement.

[homeya]

Bonsoir,

Un petit essai sur le site lovemaths.fr montre que l’équation cos(x/2) + sin(x/2) = 0 admet trois solutions sur l’intervalle [0 ;6pi[ qui nous intéresse ici (fichier joint). On peut la résoudre par :

cos(x/2) + sin(x/2) = 0
sin(x/2) = sin(x/2 – pi/2)
donc:
x/2 = x/2 - pi/2 qui n’a pas de solution
ou x/2 = pi – (x/2 – pi/2) + k2pi qui donne 3pi/2, 7pi/2 et 11pi/2 sur [0 ;6pi[.

Pour en revenir à l’équation initiale, j’arrive à la factoriser sous la forme 4cos(x)sin(3x/2)[cos(x/2)+sin(x/2)] = 0.

Les deux autres facteurs donnent les solutions (si je ne me suis pas trompé), dans le désordre : pi/2, 5pi/2, 9pi/2, 11pi/2, 0, 4pi/3, 8pi/3, 4pi, 16pi/3, 2pi/3, 2pi, 10pi/3 et 14pi/3 soit un total de 16 solutions !

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour

Cette étude (pièce jointe) commence très mal :

Son ensemble de definition est

Ce qui est faux et ne correspond même pas au domaine d'étude, sans compter le tour de passe-passe pour le signe de la dérivée ; bref je ne ferais pas confiance à ce site.

[ansset]

bonjour,
en approche trigo, je suggère d'écrire
x=2x-x et 3x=2x+x
donc le premier terme devient
sin(2x-x)+sin(2x)+sin(2x+x) soit en developpant et en factorisant
sin(2x)(2cos(x)+1)
de même le deuxième terme devient
cos(2x)(2cos(x)-1)-1
d'ou après re-developpement et simplifiant on retrouve 2cos(x) en facteur des deux cotés
et au final
ou cos(x)=0 ou
sin(2x)-cos(2x)=-(sin(x)+cos(x)) soit
sin(pi/4-2x)=sin(pi/4+x)
reste à lister les solutions..

[NathanS-7]

OK, je devrais arriver avec vos aides! Merci beaucoup tout le monde!

[homeya]

Bonjour,

Pour répondre à Médiat, le site lovemaths.fr affiche "Son ensemble de définition est [0 ;6pi]" car c’est l’intervalle d’étude que je lui avais spécifié. Lorsqu’on ne spécifie aucun intervalle, il affiche "On restreint l’étude à [0 ;4pi]", ce qui est effectivement plus approprié. Je corrigerai ceci dans une future version du site (j’en suis le créateur ).

Et pour en revenir à l’équation, celle-ci peut au final se factoriser en :

sin(x)+sin(2x)+sin(3x)-cos(x)+cos(2x)-cos(3x)+1 = 0
4sqrt(2)cos(x)sin(3x/2)cos(pi/4-x/2) = 0

Ce qui donne toutes les solutions aisément. Me trompe-je ?

Cordialement

[NathanS-7]

Je suis arrivé là:

2sin(3x/2).[cos(x/2) + sin(x/2)] = 0

<=> 2sin(3x/2).[sin(pi/2 - x/2) + sin(x/2)] = 0

<=> 2sin(3x/2).[2sin((pi/2 - x/2 + x/2)/2).cos((pi/2 - x/2 - x/2)/2)] = 0

<=> 2sin(3x/2).[2sin(pi/4).cos(pi/4 - x/2)] = 0

<=> 2sin(3x/2).[2.sqrt(2)/2.cos(pi/4 - x/2)] = 0

<=> 2sqrt(2).sin(3x/2).cos(pi/4 - x/2) = 0

<=>2sqrt(2).sin(3x/2).cos(t) = 0 (Je pose t = pi/4 - x/2)

<=> sin(3x/2) = 0 ou cos(t) = 0

<=> x=2kpi/3 ou x = -pi/2 - 2kpi , K appartenant à Z.

[homeya]

Bonsoir NathanS-7,

Je pense qu’il vous manque encore un 2cos(x) dans votre expression finale et il me semble que vous ne repassez pas correctement de t à x lorsque vous écrivez x = -pi/2 - 2kpi.

Enfin, je pense qu’il vous manque des solutions car il ne faut pas oublier les règles suivantes :
sin(a) = sin(b) <=> a = b + k2pi ou a = pi – b + k2pi
cos(a) = cos(b) <=> a = b + k2pi ou a = -b + k2pi

Voici comment j’ai procédé :

sin(x)+sin(2x)+sin(3x)-cos(x)+cos(2x)-cos(3x)+1=0
<=> sin(2x)+2sin(2x)cos(x)-2cos(2x)cos(x)+2cos^2(x)=0
<=> 2sin(x)cos(x)+2sin(2x)cos(x)-2cos(2x)cos(x)+2cos^2(x)=0
<=> 2cos(x)[sin(x)+sin(2x)-cos(2x)+cos(x)]=0
<=> 2cos(x)[2sin(3x/2)cos(x/2)+2sin(3x/2)sin(x/2)]=0
<=> 4cos(x)sin(3x/2)[cos(x/2)+sin(x/2)]=0
<=> 4cos(x)sin(3x/2)[2cos(pi/4)cos(x/2-pi/4)]=0
<=> 4sqrt(2)cos(x)sin(3x/2)cos(pi/4-x/2)=0

Donc, en appliquant les deux règles vues précédemment à 4sqrt(2)cos(x)sin(3x/2)cos(pi/4-x/2)=0, on aboutit à :

cos(x) = 0 <=> x = pi/2 + k2pi ou x = -pi/2 + k2pi
sin(3x/2) = 0 <=> x = k4pi/3 ou x = 2pi/3 + k4pi/3
cos(pi/4-x/2) = 0 <=> x = -pi/2 + k4pi ou x = 3pi/2 + k4pi

Etes-vous d’accord ?

Cordialement.

[ansset]

Etes-vous d’accord ?

Cordialement.

oui jusque là
<=> 2cos(x)[sin(x)+sin(2x)-cos(2x)+cos(x)]=0
j'arrive au même résultat un peu plus vite
mais après tu deviens un peu compliqué à mon goût
ou jk'écrit simpement
ou cos(x)=0
ou sin(2x)-cos(2x)=-(sin(x)+cos(x))
pour moi on va plus vite au resultat, en passant par des pi/4 +/- qcq chose
( je deteste les ecriture d'équation trop longue ) ))
( sans avoir vérifié, je pense qu'on a les mêmes résultats, pas sur ... )

[NathanS-7]

Au fait on a donné la réponse avec l'execice, donc je sais ce que je dois obtenir à la fin:

x = pi/2 + kpi

OU

x = 2kpi/3

Et en suivant la méthode d'Homeya, j'aboutit à:

4.sqrt(2).cos(x).sin(3x/2).cos(x/2-pi/4) = 0

<=> cos(x) = 0 => x = pi/2 + kpi

OU sin(3x/2) = 0 => x = 2kpi/3

OU cos(x/2 - pi/4) = 0 => x = pi + pi/2 + kpi

OR, x = pi + pi/2 + kpi est inclus dans pi/2 + kpi, donc le problème est résolu!

Merci à tous!

[homeya]

Bonjour Ansset,

Mon côté un peu maniaque me pousse parfois sur les chemins de traverse de la complexité ! Mais il y a toujours plusieurs manières d’aboutir en maths … et c’est aussi cela qui fait leur beauté !

Cordialement.