Comment répondre à ce probleme?

[invited9e52913]

bonjour à tous!

pourriez vous m'aider à faire cet exercice:

" Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a<b .

Montrer que 1/b - 1/a > 4/a-b " ?

Merci d'avance! (c'est pour lundi!!)
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[Seirios]

Bonjour,

En multipliant ton inégalité par b-a, tu te ramènes à . En posant , tu obtiens donc . Ton problème est donc équivalent à montrer que pour tout , . En multipliant cette inégalité par x, tu obtiens finalement , c'est-à-dire que tu te ramènes à l'étude d'un trinôme (ce qui n'est pas bien difficile).

[Seirios]

J'ai fait une erreur de signe : on trouve , puis . D'ailleurs, ton résultat me semble faux : si a=1 et b=10, l'inégalité est fausse. Peut-être un problème avec de parenthèses ?

[invited9e52913]

Merci pour ton aide! Oui l'énoncé donné par mon professeur me semble étrange puisque si l'on essaye avec par exemple, a= 5 et b=8, cela ne marche pas...
Du coup ton raisonnement démontre-t-il bien que 1/b - 1/a > 4/a-b ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Je pense que l'énoncé correct serait a > b

il s'agit d'une utilisation des identités remarquables :
vous multipliez par le produit ab, ce qui donne a - b à comparer à 4 ab/(a - b)
Il faut alors comparer (a -b)² à 4 ab : en passant dan l'autre membre, il vous reste à comparer (a+b)² et 0

[invited9e52913]

En quoi tout cela montre-t-il que 1/b - 1/a > 4/a-b ?

Comment rédiger ma réponse?

merci d'avance!

[phys4]

En quoi tout cela montre-t-il que 1/b - 1/a > 4/a-b ?

Comment rédiger ma réponse?

merci d'avance!

Vous suivez la procédure du message 5 et vous détaillez les étapes :
1 - multiplication des deux membres par ab ces nombres positifs ne changent pas le signe de l'inégalité
2 - multiplication par (a-b) des deux membres , l'inégalité donnée indique que a-b est aussi positif
3 - développement du carré
4- passage de 4ab dans l'autre membre
5- remise sous forme d'un carré
6 - conclure

[invited9e52913]

J'ai bien suivi les 5 etapes mais je ne sais pas comment conclure...
Pouvez-vous m'aider?

[phys4]

Vous suivez la procédure du message 5 et vous détaillez les étapes :
1 - multiplication des deux membres par ab ces nombres positifs ne changent pas le signe de l'inégalité
2 - multiplication par (a-b) des deux membres , l'inégalité donnée indique que a-b est aussi positif
3 - développement du carré
4- passage de 4ab dans l'autre membre
5- remise sous forme d'un carré
6 - conclure

Désolé, en refaisant mentalement les étapes, je me suis aperçu qu'il y avait une erreur de signe,, le problème est surement mal posé, car l'on ne trouve pas l'inégalité
ni pour a < b, ni pour a > b

Il suffit donc de prouver que ce n'est pas vrai
Exemple:Nous prenons a = 1 et b = 10
Alors 1/2 - 1 > 4/-9 ce qui est faux .