Theorie des ensembles

[yootenhaiem]

Bonsoir F.S,
J'ai trouve quelque part que pour f une application de E vers F: f^-1(f(E))=E <=> f injective.

Or je pense que c'est faux selon cet exemple:

E:{a,b}
F:{e,f,g}
je prend f tel que f(a)=e et f(b)=e.

On a bien: f(E)={e} et f^-1(f(E))=E.

Merci d'avance.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

J'ai trouve quelque part que pour f une application de E vers F: f^-1(f(E))=E <=> f injective.

Cette propriété n'a pas de sens car la notion d'application réciproque n'est définie que pour les bijections.

Or je pense que c'est faux selon cet exemple:

Oui, ... mais ton contre-exemple est faux !

On a bien: f(E)={e} et f^-1(f(E))=E.

Non, tu ne peux pas écrire cela pour la même raison que précédemment, à savoir l'application que tu définies n'est pas bijective donc elle n'a pas d'application réciproque.

[Tiky]

Je pense qu'il fait l'abus de notation (très commun) qui consiste à noter par la fonction image réciproque de f et non la fonction réciproque de f.
Son exercice a bien un sens et son contre-exemple est correct.

[PlaneteF]

Je pense qu'il fait l'abus de notation (très commun) qui consiste à noter par la fonction image réciproque de f et non la fonction réciproque de f.
Son exercice a bien un sens et son contre-exemple est correct.

Oui, je pense effectivement comme toi, je me suis fait cette même reflexion après avoir écrit mon message, ... mais en toute rigueur, tout abus de notation devrait être signalé !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Certes mais cet abus est tellement fréquent. D'ailleurs tu n'as pas été choqué qu'il écrive f(E)... alors que f est définie sur les éléments de E et non sur les parties de E. Il a donc
fait l'abus de confondre l'application f et l'application image directe de f. Abus tout à fait acceptable

Ces abus sont d'ailleurs fait par Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Image_r%C3%A9ciproque
Bon tu me diras que Wikipédia n'est peut-être pas la référence ultime en Mathématiques mais au moins c'est un bon témoigne de l'usage commun.

[PlaneteF]

D'ailleurs tu n'as pas été choqué qu'il écrive f(E)...

Si, si, ... mais après coup ... c'était un abus d'interprétation de l'abus de notation

(...) mais au moins c'est un bon témoigne de l'usage commun.

Je n'ai jamais pensé le contraire, ... c'était simplement une réflexion plus générale de savoir jusqu'à quel degré on explicite un énoncé

[yootenhaiem]

Bonjour,

la fonction image réciproque de f et non la fonction réciproque de f.

Tout a fait, ce n’était qu'un abus de notation. Que j'ai toujours utilise d'ailleurs, ainsi que mes professeurs
Merci a vous deux.