Exercices de théorie des groupes

[invitebf9f0112]

Bonjour,

Je suis étudiant en physique et viens de commencer un cour de théorie des groupes (malheureusement qui est la suite d'un de théorie des groupes basique que je n'ai pas pu suivre) et je suis un peu perdu.

Notre professeur nous à demandé de classifier les algèbres associatives de dimension 2:
- Sur le corps R, avec élément neutre
- Sur le corps C, avec élément neutre
- Sur C, sans élément neutre.

J'ai compris qu'une algèbre associative sur un corps est un espace vectoriel A avec une loi X qui va de AxA->A et qui vérifie pour tout x,y et z appartenant à A: (xy)z=x(yz).

- J'ai quand même du mal avec ça, vu mon niveau, déjà classifier <=> faire une liste d'algèbres que l'on regroupe via des caractères commun?
- Quelqu’un saurait me dire s'il y à un moyen de connaitre d'avance le nombre d'algèbre correspondant à ces
critères?
- La dimension de l'algèbre est celle de l'espace vectoriel en question?


Pour le moment j'ai trouvé:
-E.V des matrices (2:1) et (1:2) sur K muni de l'addition et du produit scalaire en loi
interne et de la multiplication en loi externe. Avec l'élément neutre (1 1).
-Les algèbres de Lie, E.V A sur R contenant 2 éléments (pour qu'il soit de dimension 2?) muni de la loi externe
de commutation [ . ]=xy-yx. (Possible sur C? Le neutre est il inclus?)
-Un E.V sur R dont la base est {e,} avec toute combinaison linéaire tel que: appartenant à R tel que:


Ce n'est pas beaucoup beaucoup, je ne cherche évidemment pas de réponde toute faites mais des pistes pour
organiser ma recherche.

P.S: J'ai un autre problème mais il tient plus du jeux, imaginez un cube 3X3X3 dont on veut lier les 27 cubelets
entre eux en ne sortant pas du grand cube, en ne repassant pas deux fois dans le même cubelet et on veut finirpar le cube central est-ce possible?
J'ai eu beau retourner le problème dans tous les sens je n'ai pas trouvé de solution, comme c'est mon
professeur de théorie des groupe qui nous a donné cela en devoir j'ai bien l'impression qu'il faille l'utiliser pour
affirmer ou infirmer la faisabilité du projet mais je ne sais pas comment poser le problème.

Merci de votre attention.
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[invite76543456789]

Salut!
J'ai pas l'impression que tes reponses soit bonne (le produit scalaire n'est pas une loin "interne", une algèbre de Lie n'est pas une algèbre etc...)
Tu peux proceder comme ceci (pour les deux premiers du moins).
La sous algèbre engendrée par le neutre est isomorphe a R (ou C), prend un element x qui n'est pas dans cette sous algèbre, alors (1,x) est une base de ton espace vectoriel. Il ne te reste plus qu'a discuter en fonction de ce que vaut x² (qui est de la forme a+bx).

[Médiat]

Bonjour,

- Sur le corps R, avec élément neutre

Problème classique, vous pouvez regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, le fichier qui s'appelle final.pdf au chapitre Algèbre de dimension 2 sur IR

- Sur le corps C, avec élément neutre

Le principe doit être le même, mais les calculs et les résultats différents

- La dimension de l'algèbre est celle de l'espace vectoriel en question?

Oui

P.S: J'ai un autre problème mais il tient plus du jeux, imaginez un cube 3X3X3 dont on veut lier les 27 cubelets
entre eux en ne sortant pas du grand cube, en ne repassant pas deux fois dans le même cubelet et on veut finirpar le cube central est-ce possible?
J'ai eu beau retourner le problème dans tous les sens je n'ai pas trouvé de solution, comme c'est mon
professeur de théorie des groupe qui nous a donné cela en devoir j'ai bien l'impression qu'il faille l'utiliser pour
affirmer ou infirmer la faisabilité du projet mais je ne sais pas comment poser le problème.

Non.

SI vous imaginez que chaque cubelet est peint alternativement en noir et en blanc, en commençant par le centre en blanc, vous aurez 14 blancs et 15 noirs, donc aucun chemin complet ne peut commencer par un cubelet blanc.

[invitebf9f0112]

Merci beaucoup, pour vos réponses rapides et précise!

[A voir en vidéo sur Futura]