Hypersphère

[emaanet]

Bonjour,

Je crois savoir que, dans une hypersphère, quelque soit la direction dans laquelle un point se déplace, il avance toujours vers sa position de départ.
Pouvez-vous me confirmer que, une fois parfaitement à mi-chemin entre l'endroit de départ et ce même endroit d'arrivé, si on fait subir à la trajectoire de notre point une rotation de 90° dans n'importe quelle direction, le point finira quand même par retrouver sa position de départ?

Cette hypothèse parait très logique au néophyte que je suis car, dans la vie courante, une telle trajectoire en forme d'équerre mène au même endroit qu'une ligne droite dont l'ange de départ diffère de 45°, soit une des directions quelconques évoquées dans la première ligne.
Mais il n'est pas exclus que je raisonne de façon trop euclidienne pour un objet qui, j'ai cru comprendre, ne le serait pas forcement.
Je voudrais juste être certain de ne pas me tromper.

D'avance merci,

Emmanuel
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[emaanet]

Si je me contente d'imaginer l'hypersphére comme une sphère dont chaque point diamétralement opposé serait, en fait, au même endroit, alors je n'aboutie pas sur la même conclusion.
En effet, dans ce cas, une fois parfaitement à mi-chemin, si la trajectoire tourne à 90°, dans une des deux seules directions possibles pour le coup, à force d'avancer, au lieu de retomber sur mon point de départ, je vais retomber sur l'endroit ou j'ai tourné...

[Amanuensis]

Que ce soit une sphère (surface 2D) ou une hypersphère (3D, j'imagine), ou une sphère de dimension quelconque, aller "tout droit" fait parcourir un cercle ramenant à son point de départ, quelle que soit la direction choisie au départ.

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Prendre une sphère plongée dans un espace euclidien, et imaginer que les points diamétralement opposés sont "le même point", et ce avec un point différent pour chaque diamètre, donne l'espace projectif de même dimension. Par exemple en partant de la sphère usuelle (S2, plongée dans R3), on obtient le plan projectif.

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Pour visualiser une hypersphère à partir d'un machin euclidien, suffit de prendre R3 et considérer l'infini comme un point unique, qui sera le point diamétralement opposé à un centre choisi O. Dans le cas de O comme point de départ, en partant dans une direction quelconque on arrive à l'infini (point opposé), et on revient "par l'autre côté" (même direction, mais en sens opposé).

Pour un point quelconque M, son opposé M' est tel que OM' est parallèle à OM mais en sens inverse, et |OM|.|OM'|=1.

Dans le cas de la dimension 2, il s'agit de la "sphère de Riemann" (http://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A8re_de_Riemann). La construction est analogue dans toute dimension.

[emaanet]

Cher Amanuensis,

Merci de cette réponse aussi fournie que rapide.
Je regrette toutefois de t'informer que mon niveau de mathématiques ne me permet pas de la comprendre. Pour tout t'avouer, je m'attendais à une réponse comme : "Oui, je confirme ton hypothèse" ou "Non, tu te trompe".

Je vais essayer de reformuler de façon à recevoir une réponse plus binaire :
Une fois parfaitement à mi-chemin entre l'endroit de départ et ce même endroit d'arrivé, si on fait subir à la trajectoire une rotation de 90° dans n'importe quelle direction, le point finira t-il par retrouver sa position de départ (réponse A), retombera t'il sur l'endroit où il a tourné (réponse B), où avancera t-il a l'infini sans jamais repasser par un endroit déjà traversé (réponse C)?

J'en profite pour ajouter une seconde question :
Dans le cas où la réponse serait B ou C, existe-il une topologie telle que notre trajectoire qui tourne à 90° à mi-chemin retombe sur l'endroit de départ?

Cordialement,

Emmanuel

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Une fois parfaitement à mi-chemin entre l'endroit de départ et ce même endroit d'arrivé, si on fait subir à la trajectoire une rotation de 90° dans n'importe quelle direction, le point finira t-il par retrouver sa position de départ (réponse A), retombera t'il sur l'endroit où il a tourné (réponse B)

Pour ces points cela fonctionne pareil sur la sphère et dans l'hypersphère. Le point à mi-chemin est le point opposé (le pôle Sud pour le pôle Nord), un changement de direction quelconque en ce point puis continuer tout droit ramène au point de départ (réponse A) avant de retourner (si on continue) au point opposé.

, où avancera t-il a l'infini sans jamais repasser par un endroit déjà traversé (réponse C)?

Cette proposition laisse planer un doute sur ce que vous appelez hypersphère (et donc sur toute la question) : l'hypersphère est un volume "fini", on ne peut pas "aller à l'infini". À moins que vous ne vouliez dire "progresser tout droit indéfiniment" ?

Dans le cas où la réponse serait B ou C, existe-il une topologie telle que notre trajectoire qui tourne à 90° à mi-chemin retombe sur l'endroit de départ?

La réponse étant A, une seule remarque (mathématique, mais il y a d'autres lecteurs) : ce n'est pas une question de topologie, mais de métrique. Tomber "exactement" sur l'endroit de départ est lié à la notion de "aller tout droit", qui est métrique.

La seule topologie ne permet pas de parler de "droit", ni de "tourner à 90°", ni de "à mi-chemin". On peut donc imaginer une hypersphère (au sens topologique) avec une métrique irrégulière ("bosses", "creux"), et alors "aller tout droit" fait parcourir un chemin sans propriété à l'échelle globale genre retourner au départ. (Il reste une propriété importante : si on se déplace indéfiniment, il existe au minimum un point dans l'hypersphère près duquel on repassera indéfiniment.

[emaanet]

Merci beaucoup.

Bien cordialement,

Emmanuel

[emaanet]

Etant donné que notre échange me satisfait beaucoup, si tu l'accepte, je voudrais te poser une deuxième question sur cette topologie/métrique :

Admettons que nous ne disposions que d'une palette de trajectoires en forme d'angle droit.
Me confirme-tu que le théorème de Pythagore reste valable et que la trajectoire que nous venons d'étudier est la plus longue de toutes ces trajectoires pour aller du point de départ à ce même point d'arrivé?

[emaanet]

J'ai l'impression que vous allez me répondre non.

Suite à une petite série de dessins, j'essaye de comprendre :

Quand A=B, que l'angle soit de 90° (figure 2) ou de 0 (figure 1) la longueur AB reste la même.

En topologie euclidienne, plus on raccourcit un coté d'un triangle rectangle, disons A, plus notre trajectoire (coté A + B) est courte, elle tend à se confondre avec l'hypoténuse. De plus, quand on raccourcit A, on est obligé d'allonger B, dans des proportions moindres bien sur.

Or, ici (figure 3), on constate une ressemblance avec le théorème de Pythagore car plus l'angle arrive tôt, plus A est court, plus la distance à parcourir est courte. En revanche, raccourcir A n'implique pas un allongement de B mais, au contraire, son raccourcissement. Puis que, tant que A est inférieure ou égale à la moitié du "périmètre de l'hypersphère", alors A = B (figure 1,2 et 3).
De plus, on constate que l'incidence de l'angle sur la longueur n'a plus court à partir du moment où A est supérieur ou égale au périmètre.




Je me suis essayé, je ne prétend surtout pas avoir bon.
Merci de me corriger...

[Amanuensis]

Pas vu le dessin, mais il me semble que la réponse est assez simple : ce qu'on appelle "aller tout droit" est localement le plus court chemin pour la métrique (la même qui définit "aller tout droit"). La trajectoire la plus courte pour aller d'un point à un autre sur une sphère ou dans une hypersphère, avec la métrique "normale" (localement proche d'une métrique euclidienne), n'a aucun angle.

Pour la métrique sur la sphère, l'équivalent du théorème de pythagore fait intervenir la surface du triangle, mais l'inégalité triangulaire reste valable (la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle est plus grande que la longueur du troisième). Pareil pour l'hypersphère, j'imagine.

[emaanet]

Maintenant il y a peut-être aussi une histoire de géodésique que j'aurais ignoré.
Il est bien possible que tout ca soit très grossier...
Mais j'aimerais beaucoup comprendre l'hypersphére...

[emaanet]

Oops, je n'ai pas vu ta réponse qui s'est intercalée avant mon dernier message.
Je te remercie de ces infos.
J'espère que tu reviendra me donner ton avis quand l'image sera validée car elle aide beaucoup à comprendre ce que j'ai voulu dire.

[Amanuensis]

Les dessins correspondent à des chemins sur la sphère, mais je pense que cela revient au même sur l'hypersphère.

Les chemins 1) et 2) ont la même longueur.

Pour 3) et 4), il y a un problème : si on fait un virage en un autre point que l'antipode de A, puis qu'on va "tout droit", on ne repasse pas en A. Car la seule géodésique qui joint A et le point de virage est le segment déjà parcouru (et son complémentaire dans l'autre sens).

Que ce soit sur la sphère ou dans l'hypersphère les géodésiques sont des grands cercles, et les grands cercles passant par un point passent tous par le point antipodal.

[Amanuensis]

On peut essayer de visualise une hypersphère comme suit, en commençant par la sphère.

Si on imagine la surface de la Terre en regardant autour de soi, cela consiste à imaginer des lignes dans toutes les directions horizontales, passant par le point antipodal de la Terre, et revenant en arrivant horizontalement de la direction opposée. On a alors une sphère.

Pour l'hypersphère c'est pareil, sauf qu'on fait partir les lignes dans toutes les directions, pas seulement l'horizontale (on a six points cardinaux, N, W, S, E plus zénith et nadir), et il faut imaginer un point antipodal très loin, une sorte de symétrique "de l'autre côté" de la voûte céleste. Comme si on "voyait" un même point dans toutes les directions avec la voûte céleste à mi-chemin.

Si on restreint alors la vision à un plan (l'horizontal par exemple) on retrouve une sphère, mais avec l'antipode non pas celui de la Terre mais "derrière la voûte céleste".

(Notons que la vision de cette hypersphère n'est pas seulement celle d'un truc imaginaire, c'est une image assez bonne du cosmos qu'on le voit, avec comme point antipodal la singularité initiale ! Mais la voûte céleste (les étoiles) ne sont pas vraiment à mi-chemin !)