(1/sinx)^n - (1/x)^n au voisinage de 0

[Bauj]

Bonjour chers amis matheux,
Il me faudrait calculer la limite lorsque x tend vers 0+ de (sinx)^n - x^n pour n<0.
Dois-je utiliser un DL de sin x?
Quelle méthode?
Merci pour vos éclaircissements.
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[breukin]

Ben oui, et le mieux, c'est de faire apparaître , et l'exposant peut être quelconque (pas nécessairement entier relatif) si on est dans les réels positifs.

[Bauj]

Oui Breukin mais...
pour m>0,
(1/sinx)^m - (1/x)^m = (1/x^m)( (x/sinx)^m - 1)
et comme x/sinx tend vers 1, on reste sur une forme indéterminée (maintenant 0 x infini).
Alors que faire?
Je ne vois pas ce que peut apporter un DL de Sin x.

[breukin]

Peut importe le signe de l'exposant.
Vous pouvez donc écrire plus simplement :


avec la fonction sinus cardinal dont vous pouvez obtenir un DL (à l'ordre 2 suffira), lequel peut être élevé à la puissance .

Vous concluerez en fonction de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bauj]

alpha>0 ne pose aucun problème au départ (pas de FI).
Voilà pourquoi j'ai posé le problème pour alpha <0.

(sinx)/x = 1-x²/6+o(x²)
Développer (1-x²/6+o(x²) )^n pour n entier positif va engendrer des expressions très lourdes... C'est ce que vous feriez?
Et comment procéder pour n non entier?

[gg0]

Bonsoir.

"Développer (1-x²/6+o(x²) )^n pour n entier positif va engendrer des expressions très lourdes... C'est ce que vous feriez?"
Il ne s'agit pas de développement algébrique, mais de trouver un développement limité à l'ordre 2. C'est très rapide !
D'ailleurs, tu sais développer (1+t)^a pour t voisin de 0, non ?

"Et comment procéder pour n non entier? " avec la même méthode !

Cordialement.

[Bauj]

Merci acccro,
je vais donc utiliser (1+t)^a=1+at+o(...) pour a réel.