montrer qu'une famille est base [MPSI]

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,
j'ai un petit doute pour faire ce qui est écrit dans le titre.

j'ai une famille, et je dois montrer qu'elle est base de E (c'est un sev dont on se moque)

est-ce que le raisonnement suivant est valable ???

je montre qu'elle est libre
je montre qu'elle a autant de vecteurs que la dimension de E
elle est donc génératrice
et donc base.

ce serait super si le raisonnement était correct.

maintenant, s'il ne l'est pas, ne dites pas que ça marche pour me faire plaisir !



merci
Romain, qui, ça y est, s'est plongé dans ses devoirs

[invite4793db90]

Salut,

ton raisonnement est bon et est souvent utilisé. Attention toutefois, ce n'est bien sûr valable que si l'ev est de dimension finie.

Cordialement.

[invite86822278]

Pour un sous espace vectoriel de dimension fini, toute famille libre et génératrice est en effet une base.

[invite3bc71fae]

Sauf que si ton sev est de dimension infini, mieux vaut éviter ce type de raisonnement...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Merci

oui, bien sûr, il est de dimension finie (j'avais oublié de le préciser).

Bon, beh, c'est super alors !

merci et vive FS pour la rapidité et la qualité bien sûr de la réponse.

[invited5b2473a]

En même temps, montrer qu'une famille est une base d'un espace de dimension infinie, ce n'est pas courant!

[invitedf667161]

Bin si : montre que la famille des est une base de

[inviteab2b41c6]

En même temps, montrer qu'une famille est une base d'un espace de dimension infinie, ce n'est pas courant!

Bein voyons...
Parce que les ev de dimension infinie n'ont pas de base?

[invite4793db90]

Salut,

il me semble que l'existence d'un supplémentaire d'un ev de codimension infinie repose sur l'axiome du choix. Quelqu'un pour confirmer?

[invitee65b1c3d]

Salut,

il me semble que l'existence d'un supplémentaire d'un ev de codimension infinie repose sur l'axiome du choix. Quelqu'un pour confirmer?

Je confirme.
Il est possible de trouver des contres-exemples si on a pas l'axiome du choix.

Par contre, il est tout à fait possible que seule une version faible de l'axiome du choix suffise.

[inviteca3a9be7]

Je confirme.
Il est possible de trouver des contres-exemples si on a pas l'axiome du choix.

Par contre, il est tout à fait possible que seule une version faible de l'axiome du choix suffise.

C'est même un peu plus fort que ça : on peut prouver que l'on ne peut montrer l'existence d'une base pour tout e.v. sans l'Axiome du Choix "fort" (Zorn en fait mais c'est pareil).

Quant à faire des maths avec ou sans l'AC .... Sans l'axiome du choix des e.v. n'ont pas de base mais toutes les fonctions sont mesurables.

[inviteff9bdbd8]

Bonsoir, je dois montrer que cette famille est une base mais je ne sais pas comment faire dans ce cas là...quelqu'un pourrait m'aider :$ Normalement c'est une famille de vecteurs et là j'y arrive mais là ce n'est pas le cas donc je suis un peu perdu... la famille est la suivante : (2-x;1+2x;1-x*2)

[inviteea028771]

Une base de quel espace vectoriel?

Bon, ici on va supposer que l'on cherche à montrer que c'est une base des polynômes de degré 2.

Première étape : montrer que la famille est libre. c'est à dire :

a(2-x) + b(1+2x) + c(1-x²) = 0 => a=b=c=0

On développe et on identifie : on obtient un système que l'on résout et ça marche bien

Deuxième étape : montrer que la famille est génératrice.
Le plus simple c'est de montrer que l'on peut obtenir 1, x et x² avec ces 3 vecteurs. Par exemple 1 = 2/3(2-x)+1/3(1+2x)


Sinon, tout élément d'un espace vectoriel est un vecteur... donc les polynômes, les suites ou les fonctions sont des vecteurs. Après il est évident que ce ne sont pas des vecteurs de R² ou même R^n

[invited5b2473a]

Bein voyons...
Parce que les ev de dimension infinie n'ont pas de base?

Oui, ils en ont à condition d'admettre l'axiome du choix. Mais travailler sur des bases infinies dont on ne connaît absoulement rien hormis l'existence, ce n'est pas vraiment courant en prépa.

[inviteab2b41c6]

Je ne vois pas en quoi l'utilisation de l'axiome du choix pose un problème encore aujourd'hui.
On l'utilise pratiquement partout et presque tout le temps...

[invite788fa302]

En tout cas, 75% des problèmes traités depuis le début d'année, concernant entre autres les bases (algèbre linaire en général), sont en majorité en dimension finis.

[inviteab2b41c6]

Evidemment que pour travailler sur les espaces de dimension infinie, il est bon de bien maitriser ceux qui sont de dimension finie...
L'étude des espaces de dimension infinie, se fait en général dans les cours d'analyse fonctionnelle.
La différence majeur est que lorsque l'on travaille sur des espaces vectoriels normés de dimension finie, du fait que toutes les normes soient équivalentes, et puisque toute application linéaire est lipschitzienne (en dimension finie) pour la norme 2, alors toute application linéaire en dimension finie est fermée.
De plus, tout espace vectoriel X de dimension finie, est fermé, et si H est un sev de X, alors H possède nécessairement un supplémentaire.
En dimension infinie, tout ca n'est plus vraie, et en fait les normes ne sont plus équivalentes. (sur les Banach, si l'une est plus petite que l'autre, alors elles sont équivalentes...)
En dimension infinie, il existe toujours des applications linéaires qui ne sont pas continues, etc.
Il faut donc bien étudier la structure topologique que l'on met sur notre espace, et c'est très important. C'est une chose qui n'arrive pas en dimension finie, puisqu'on ne se préoccupe pratiquement jamais de la topologie que l'on a sur notre espace.
D'où l'intéret de bien connaître les espaces vectoriels de dimension finie avant de s'attaquer aux autres...