[sup]montrer qu'une famille est libre...

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous,

un petit exo sur lequel j'ai une difficulté...

soit u un nilpotent d'indice r (on est en dimension n)

on dispose de a tel u^r-1(a) différent de 0

montrons que la famille (a, .... , u^r-1(a) ) est libre

soit les k_i tels que :
k₀.a + .... k_r-1.u^r-1(a) = 0

j'ai plus qu'à montrer que les k_i sont tous nuls.

je factorise par u^r-1(a) (qui n'est pas nul)

et alors : (k₀.a + ....... k_r-2.u^r-2(a))/ u^r-1(a) + k_r-1 = 0

et donc...

bref, pour conclure, il me semble qu'il me manque quelque chose

Soit k_r-1 = 0 (ce serait bien)

Soit k_r-1 = un truc en fonction des a, u(a)... et des k_i... mais ce n'est pas possible...

(ensuite il n'y a qu'à rééditer ce raisonnement)
en vous remerciant par avance
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je te dirais ARGH !
On ne divise jamais par un élément d'un espace vectoriel : On ne peut diviser que par les éléments non nuls du corps de base.

Cela dit, essaye de composer par u^j pour différents j et utilise le fait que u^r = 0. Tu devrais pouvoir t'en sortir. Je te laisse faire...

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rvz

[indian58]

Plutôt que de "factoriser", pourquoi ne composerais-tu pas par u^(r-1)?

[Romain-des-Bois]

Salut,

en composant, j'arrive au résultat (je le savais déjà )

mais j'ai vu cette "méthode" dans les exos d'un copain et je croyais que c'était "classique"... bref, je n'arrivais pas à conclure et apparemment c'est normal

ce qui m'étonne, c'est que ça aurait été vu en cours

merci !

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

ce qui m'étonne, c'est que ça aurait été vu en cours

Ca m'étonne aussi. Si u est bien un endomorphisme d'un espace vectoriel, la méthode est tout simplement fausse. Comment diviser un vecteur de R^3 par (1,0,2) ?

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rvz, qui est plus que surpris qu'un prof ou un chargé de td aurait pu écrire de telles horreurs

[invite79d10163]

Une reponse est fournie dans :
http://www.math.univ-metz.fr/~ludwig/Jordan-Latex.pdf

[Romain-des-Bois]

rvz, qui est plus que surpris qu'un prof ou un chargé de td aurait pu écrire de telles horreurs

Je suppose que c'est une erreur du dit copain

'm'étonnerait que le prof est fait une pareille bourde...

merci

Romain