Transformée de Fourier et gaussienne

vincentGras · 15/08/2006 - 19h49

Bonsoir tout le monde,
j'utilise souvent, sans savoir le démontrer, que
la fonction gaussienne $x \mapsto e^{-\pi x^2}$ est inchangée par transformée de Fourier.
Un indice pour une démonstration élégante ? C'est juste par curiosité. Merci!

martini_bird · 15/08/2006 - 20h13

Salut et bienvenue,

l'intégrale
$\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi x^2+2i\pi xy}dx$
se ramène à
$e^{-\pi y^2} \int_{\mathbb{R}}e^{-\pi (x-iy)^2}dx$
en complétant le carré dans l'exponentielle : en d'autres termes on doit maintenant intègrer $e^{-\pi z^2}$ sur la droite $\Im z=iy$ .

Comme $e^{-\pi z^2}$ est holomorphe entre les droites $\Im z=iy$ et $\Im z=0$ , la dernière intégrale vaut $\sqrt{\pi}$ , cqfd. Pour le faire proprement, il suffit d'intègrer sur un rectangle centré en 0 s'appuyant sur les droites et faire tendre les « côtés verticaux » vers l'infini.

Cordialement.

rvz · 16/08/2006 - 11h22

Salut,

Pour compléter ce que dit Martini (et qui est tout à fait juste), je propose une autre démonstration.

J' appelle Tf(u) la transformée de fourier de u.
Une gaussienne satisfait une équation différentielle du type
$\frac{d}{dx} u + x u(x) = 0$
(Insérer des coefficients là où il faut)
Quand tu prends v = Tf(u), il se trouve que v va satisfaire une équation du même type (l'EDO ci dessus est presque invariante par Tf, en fait, là encore, je parle à coefficients près).
Tu n'as plus qu'à vérifier que pour ta gaussienne particulière l'équation est effectivement vraiment invariante (même constante dans les 2), et que les conditions u(0) et v(0) sont les mêmes.

Je n'ai pas écris les coefficients parce que ça dépend de comment tu définis la transformée de Fourier : Les constantes ne sont pas placées toujours au même endroit selon les gens...

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rvz