Bonjour à tous!
Voilà en fait j'aimerai savoir ce que représente exactement la tribu A m-complétée où m est est une mesure positive et A est une tribu, par rapport à la tribu A. Qu'est ce cela fait d'ajouter les parties négligeables et à quoi ca sert?
Merci d'avance
Par exemple en analyse, on a la tribu borélienne.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_bor%C3%A9lienne
On peut compléter la tribu borélienne par rapport à la mesure de Lebesgue, et ça nous donne le tribu de Lebesgue :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_de_Lebesgue
Ça sert principalement à se simplifier la vie.
Si ta tribu T est complète tout ensemble contenu dans un élément de la tribu de mesure nulle est dans la tribu.
Par exemple : si j'ai un sous ensemble de l'ensemble de Cantor, alors il est dans la tribu de Lebesgue (car l'ensemble de Cantor est de mesure nulle), mais absolument rien n'indique qu'il soit un borélien
Merci bien pour ta réponse, mais alors dans ce cas là pourquoi voudrait-on que tout ensemble contenu dans un élément de la tribu de mesure nulle soit dans la tribu? C'est ça exactement que j'essaye de saisir, pourquoi on a besoin "d’éléments" négligeables s'il sont négligeables?
De plus j'aimerai savoir pourquoi les tribus de Borel sont-elles si spéciales? Qu'est ce que cela fait d'avoir une tribu engendrée par la topologie d'un ensemble et souvent par la topologie de IR?
Merci
Dernière modification par Faror ; 22/10/2012 à 22h20.
Pour pouvoir rendre plus de trucs mesurables. Par exemple:C'est ça exactement que j'essaye de saisir, pourquoi on a besoin "d’éléments" négligeables s'il sont négligeables?
Soitune fonction
Alors si
Sinon, pas nécessairement.
En effet, il suffit de prendre f(x) = 0, un ensemble négligeable N n'appartenant pas à
Alors g n'est pas mesurable, car l'image réciproque de {1} n'est pas dans la tribu (j'ai muni l'ensemble d'arrivé des boréliens)
Ça rend les applications continues mesurables, ce qui est fort sympathiqueDe plus j'aimerai savoir pourquoi les tribus de Borel sont-elles si spéciales? Qu'est ce que cela fait d'avoir une tribu engendrée par la topologie d'un ensemble et souvent par la topologie de IR?
Merci beaucoup pour ta réponse, elle m'a beaucoup aidé, mais elle m'a amenée une nouvelle question. J'ai bien compris ce qu'est une fonction mesurable, en tout cas sa définition, mais pourquoi justement la tribu image réciproque par cette fonction mesurable de la "tribu d'arrivée" doit etre incluse dans la "tribu de depart" pour que la fonction soit mesurable?
Merci
Quelle est ta définition de mesurabilité?
Pour moi, la définition d'une fonction mesurable de
f est mesurable si
C'est donc simplement la définition.
J'ai donc du mal à comprendre sur quoi porte exactement ta question
Faror,
si ta question est "pourquoi définit-on "fonction mesurable" ainsi, la réponse est simple : C'est pour pouvoir faire de l'intégration. Si tu n'as pas encore abordé ce thème, un peu de patience. Mais c'est l'aboutissement de 4 siècles de réflexion des mathématiciens. Et ça permet de faire de l'intégration sur des choses dont tu n'as probablement pas idée.
Cordialement.
NB : Tu peux lire un peu d'histoire des maths sur l'introduction de l'intégration (Leibnitz et Newton), les intégrales de Riemann et de Stieltjes, celle de Lebesgue et ses généralisations.
Dernière modification par gg0 ; 23/10/2012 à 18h57.
Oui justement Tryss, ta définition d'une fonction mesurable est c'est ce que j'ai écrit, en gros ma question c'est pourquoi la tribu d'arrivée F doit être incluse dans la tribu de départ
Merci pour ta réponse gg0, mais j'ai absolument besoin de comprendre tous les mécanismes en profondeur des notions que j'utilise c'est plus fort que moi.
Parce que c'est la définition d'une fonction mesurableOui justement Tryss, ta définition d'une fonction mesurable est c'est ce que j'ai écrit, en gros ma question c'est pourquoi la tribu d'arrivée F doit être incluse dans la tribu de départ pour que la fonction soit mesurable?
La raison de pourquoi on a défini de cette façon? Comme le dit gg0, c'est pour pouvoir mettre en place l'intégrale de Lebesgue.
On peut en effet écrire toute fonction mesurable comme limite simple d'une suite de fonctions étagées, définir de façon simple l'intégrale d'une fonction étagée, et définir l'intégrale d'une fonction mesurable comme la limite des intégrales des fonctions étagées.
Si la fonction n'est pas mesurable, alors on ne peut pas définir convenablement son intégrale de cette façon.
Merci pour ta réponse, mais je n'ai toujours pas compris à vrai dire, en fait je n'arrive pas vraiment a visualiser ce que représente une fonction mesurable.
Les fonctions mesurables sont les fonctions "sympathiques" par rapport aux tribu, un peu comme les fonctions continues sont les fonctions "sympathiques" par rapport aux topologies. Si on compare avec la définition d'une application continue, on voit tout de suite le parallèle :
"Si (E,T) et (F,O) sont des espaces topologiques, alors une fonction f:E->F est dite continue si l'image réciproque par f de chaque élément de O appartient à T"
J'aurai même envie de dire que les applications mesurables sont en quelque sorte les morphismes entre espaces muni d'une tribu (de la même façon que les applications linéaires sont les morphismes d'espace topologique)
En analyse, la question de la mesurabilité se pose rarement (c'est même difficile d'exhiber une fonction non mesurable), donc c'est plutôt une affaire purement technique. Par contre si tu fais des probabilités, ça devient une question centrale (car on va travailler sur des tribu "non génériques")
Dernière modification par Tryss ; 23/10/2012 à 23h55.
Toutes mes excuses pour ma réponse si tardive mais je ne m'étais pas connecté depuis.
Merci beaucoup pour toutes tes explication ca m'a bien fait avancé.
