Calcul différentiel

**KanYeW** · 22/10/2012, 22h28

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide en calcul différentiel pour comprendre mon cours(je suis en L2). En effet, j'aimerais savoir comment il est possible de calculer la différentielle d'une fonction banale par exemple $\text{[math]}$ en appliquant de façon bête et méchante la définition à savoir $\text{[math]}$ , comme il est possible de le faire avec une fonction de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ en utilisant $\text{[math]}$ .

Par exemple si on prend $\text{[math]}$ , la dérivée en a s'obtient en faisant:

$\text{[math]}$ puis en prenant la limite:

$\text{[math]}$

D'où $\text{[math]}$

Merci d'avance pour vosréponses j’espère avoir été juste avec l'utilisation de différentielle et dérivée.

**Faror** · 22/10/2012, 22h41

Bonsoir,

Il me semble que tu dois utiliser les dérivées partiel (ou le gradient c'est pareil).

**Tryss** · 22/10/2012, 23h03

Pour la fonction f(x,y) = 2x²+3y c'est assez simple :

f(x+h,y+t) = 2(x+h)² + 3 (y+t) = 2x²+3y + 4xh+3t + 2h² = f(x,y) + (4xh+3t) + ||(h,t)||e(h,t)

Donc ici la différentielle de f au point (x,y) c'est l'application linéaire D(h,t) = 4xh+3t

**KanYeW** · 23/10/2012, 13h27

Merci pour votre réponse, maintenant j'ai une autre question si maintenant je veux obtenir les dérivées partielles de la même manière, est ce que l'on doit faire juste faire varier le x (à y constant) dans l'expression puis ensuite le y(à x constant) pour obtenir respectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en prenant toujours $\text{[math]}$ ?

Parce que bien sur il est facile de les calculer à l'aide du gradient bien sur, mais le problème c'est que souvent on nous demande avant de calculer de montrer qu'elles existent seulement je ne sais pas comment faire. Pour des fonctions simples comme celle-ci on peut dire qu'elle est la composée de fonctions continue et dérivable... etc mais si ce n'est pas une fonction usuelle comment montrer qu'elles existent ? Si jamais il y a besoin d'un exemple de fonction "non-usuelle" je peux vous en montrer une.

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**gg0** · 23/10/2012, 16h25

est ce que l'on doit faire juste faire varier le x (à y constant) dans l'expression puis ensuite le y(à x constant) pour obtenir respectivement $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ en prenant toujours $f(x,y) = 2x^{2}+3y$ ?

N'est-ce pas leur définition ?

**KanYeW** · 23/10/2012, 18h30

Oui oui c'est bien leur définition

, c'est bon j'ai réussi. Maintenant (oui encore une question) mon problème est le calcul de limite. Prenons par exemples un exercice de TD.

On a : $\text{[math]}$

Il faut étudier l'existence de la limite en (0,0) et éventuellement sa valeur.

Déjà comment montrer l'existence de la limite ? Et ensuite y a t-il une technique qui marche à tout les coups pour trouver la valeur de la limite parce que pour la trouver le prof l'a bornée en faisant:

$\text{[math]}$ et donc la fonction tend vers 0. Je comprends à peu près la correction mais déjà je pense pas qu'elle marche à tout les coups mais je ne sais pas si je pourrais appliquer cette technique si l'occasion se présenter. Il nous a aussi montrer le passage en polaire mais il me semble qu'il a dit que ça marché pas tout le temps où que ça devenait vite compliqué. Il me semble qu'on peut aussi comparer la fonction avec une suite qui tend vers 0 mais je ne sais pas vraiment comment ça marche. Alors est-ce que je dois adapter l'une des technique selon le problème posé ou existe-t-il une méthode infaillible ?

**gg0** · 23/10/2012, 18h51

Bonsoir.

S'il existait une méthode infaillible, ne crois-tu pas que ton prof l'aurait montrée ? malheureusement, comme dans de nombreux domaines, il faut essayer les diverses méthodes qu'on connaît en espérant qu'une d'entre elles donne la solution (les problèmes sans solution sont les plus nombreux - Heureusement, les exercices d'application sont des problèmes à solution).

Cordialement.

**KanYeW** · 23/10/2012, 20h21

Je m'en doutais un peu mais on sait jamais en tout cas merci de votre réponse.
Par contre si quelqu'un pouvait me dire comment prouver l'existence d'une limite avant de la calculer ainsi que montrer l'existence des dérivées partielles d'un fonction avant de l'avoir calculée elle aussi je lui serai très reconnaissant parce que c'est le problème qui me pose le plus de soucis.

**gg0** · 23/10/2012, 21h01

Il existe quelques méthodes permettant de montrer l'existence d'une limite sans la calculer (par exemple croissance bornée), mais généralement, le calcul qui donne l'existence est celui qui donne la valeur. Le fait que, en (0,0), f(x,y) tend vers 0 démontre et que la limite existe, et qu'elle est nulle.

Pour l'existence des dérivées partielles, c'est les techniques de dérivation (dérivabilité ou définition) qui servent, puisqu'il s'agit de dérivées simples.

Cordialement.

**KanYeW** · 24/10/2012, 10h20

Bonjour,
Tout d'abord merci de ces réponses cela m'a bien fait avancé.

J'ai maintenant un tout petit soucis technique. Lorsqu'une application est différentiable en a, il existe une application linéaire L telle que:

$\text{[math]}$

Puis on dit que $\text{[math]}$ donc est ce que $\text{[math]}$ et par linéarité on a $\text{[math]}$ .

Parce que par la suite on a $\text{[math]}$ . A mon avis ce que j'écris est juste mais si c'est faux j'ai donc pas compris la définition de différentiable.

**Tryss** · 24/10/2012, 12h16

L'application est linéaire en h, pas par rapport à x.

A chaque point x on associe une application linéaire $\text{[math]}$ , mais cette application linéaire est différente pour chaque point x.

**gg0** · 24/10/2012, 13h17

Il vaut mieux éviter de jouer avec les notations :
$L=Df(a)$ donc Df(a) est le nom d'une application et L(h)=Df(a)(h).
Ce que tu fais, c'est à peu près la même chose que d'écrire sin(a)=si(na).

On écrit donc directement $f(a+h)-f(a)=Df(a)h+o(||h||)$ puisque c'est exactement la même chose que $f(a+h)-f(a)=L(h)+o(||h||)$ .

Cordialement.

**KanYeW** · 24/10/2012, 15h03

Merci beaucoup de vos réponses!! Pour le moment j'en ai plus mais je pense en avoir bientôt d'autres donc je vous dis à très bientôt

**KanYeW** · 24/10/2012, 19h09

Re,
J'ai réfléchi à ce que vous m'aviez dit. Vous dites que $\text{[math]}$ est le nom d'une application donc il est faux de dire que c'est l'application $\text{[math]}$ appliquée au point a. Dans ce cas c'est vicieux d'avoir mis les parenthèses dans le nom de l'application.

**Amanuensis** · 24/10/2012, 19h20

Envoyé par KanYeW

Re,
J'ai réfléchi à ce que vous m'aviez dit. Vous dites que $\text{[math]}$ est le nom d'une application donc il est faux de dire que c'est l'application $\text{[math]}$ appliquée au point a.

Non, ce n'est pas faux. Seulement Df est une application vers l'espace des applications linéaires. Df(a) est une application linéaire, celle obtenue en appliquant l'application Df à a, et Df(a)(h) le résultat de Df(a) appliquée à h.

**gg0** · 24/10/2012, 19h21

Encore une confusion :

"Vous dites que $Df(a)$ est le nom d'une application donc il est faux de dire que c'est l'application $Df$ appliquée au point a."
Si, c'est bien " l'application $Df$ appliquée au point a.". Il y a plus d'une application, en mathématiques !!!

Df est une application, Df(a) en est une autre. Df associe à chaque valeur a de $\text{[math]}$ une application linéaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ notée Df(a).

Cordialement.

**KanYeW** · 24/10/2012, 19h37

J'ai peut-être mal compris mais c'est donc une composée ?

**KanYeW** · 24/10/2012, 19h45

Parce que certes il y en a plusieurs mais celle qui convient est unique, donc je comprends pas vraiment.

**Amanuensis** · 24/10/2012, 19h45

Envoyé par KanYeW

J'ai peut-être mal compris mais c'est donc une composée ?

Non. Ce serait plus proche d'une application à deux variables ; on pourrait écrire Df(a, h). (Mais on a besoin de noter la différentielle en a, c'est à cela que sert la notation Df(a).)

**gg0** · 24/10/2012, 20h31

Non,

ce n'est pas une composée !! C'est une application (Df) dont les images sont des applications (linéaires).
C'est pourtant simple quand on accepte de prendre la situation comme elle est (sans chercher à la trafiquer) et les notations pour ce qu'elles disent (sans chercher à les transformer).
Le principe, avec les définitions de maths, c'est de les prendre telles qu'elles, sans rien enlever ni surtout rajouter. Elles traduisent des idées non mathématiques, mais de façon très précise, alors que les idées non mathématiques sont floues. Donc on les prend en bloc, sans chercher plus loin que ce qu'elles disent (pas de mystère, pas de signification cachée).

Cordialement.

**KanYeW** · 27/10/2012, 11h46

Bonjour,
Je suis d'accord avec vous gg0 que ça ne sert à rien de se compliquer la vie pour rien mais les écritures en calcul différentiel ne sont pas très claire et je ne pense pas être le seul à avoir des problème avec les notations. De plus j'ai du mal à comprendre celle-ci parce que c'est comme si on avait f(x) avec f=f(a) et ça je n'en comprends pas la signification. En tout cas merci à tous de votre patiente.

**gg0** · 27/10/2012, 14h54

Tant que tu écriras des choses comme "avec f=f(a)", tu ne comprendras pas grand chose à ce que tu écris, et donc pas grand chose à ce que les autres écrivent.
f ne veut pas dire "fonction".
f est le nom d'une fonction, comme dans ton problème de départ, Df est le nom d'une autre fonction et Df(a) est le nom d'une autre fonction encore.
Quand tu écris f=f(a), tu écris que la fonction est égale à son application à l'antécédent a. Y crois-tu vraiment ?

Il serait peut-être bon, au niveau où tu travailles, d'apprendre enfin ce qu'est une fonction, et la différence entre f et f(x) (niveau seconde première, en France). Tu pourrais par exemple lire ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Applica...%A9matiques%29.

Effectivement, les notations de calcul différentiel ne sont pas simples (et dans certains cas, comme les dérivées partielles, peu claires), mais dans le cas dont tu parles depuis le début, il n'y a aucun piège, juste de faire la différence entre deux écritures différentes.

Cordialement.

**KanYeW** · 27/10/2012, 16h19

Je viens de survoler l'article de wikipédia que vous m'avez fais suivre. Certes j'avoue que je ne sais pas vraiment ce qu'est une application, ou du moins c'est très flou, mais je ne pense pas qu'il y ait beaucoup d'élèves de seconde ou de première capable de comprendre l'article. Je m'y pencherai à nouveau un peu plus tard dans la journée. Je vous dirai donc ultérieurement si j'ai compris. Je me répète mais merci encore.

**gg0** · 27/10/2012, 16h25

" mais je ne pense pas qu'il y ait beaucoup d'élèves de seconde ou de première capable de comprendre l'article. "

Effectivement, on leur présente les choses doucement et simplement (avec les fonctions numériques). mais toi, tu n'est pas en seconde ni en première. Tu as besoin de clarifier et les significations, et les notations.

Cordialement.

**KanYeW** · 13/11/2012, 22h06

Bonjour,
Excusez moi tout d'abord pour cette longue absence (due à la révision de mes partiels). J'ai enfin résolu ce problème de différentielle (heureusement vu que j'ai passé mon partiel en CD

). Justement pour mes révisions j'ai trouvé un livre super, que je voudrai faire partager au cas où quelqu'un qui dans le futur aurait des problèmes en calcul différentiel passe sur cette discussion. Attention roulement de tambour!!! Son nom est: Analyse - Fonctions de plusieurs variables & géométrie analytique de Bruno Aebischer chez Vuibert. Je conseille particulièrement le chapitre 3 qui est le plus intéressant à mon avis pour le CD. Par contre celui-ci ne couvre pas la totalité du programme et s'arrête juste aux notions de bases c'est à dire jusqu'aux dérivées partielles d'ordre supérieur. Or en cours nous en sommes au théorème de l'inversion, des fonctions implicites et des sous-variétés de $\text{[math]}$ et j'aimerais savoir si vous auriez des livres à me conseiller traitant le sujet de façon claire. D'avance j'ai cherché avant sur d'autres forum j'ai vu que le petit guide de calcul différentiel de Rouvière était souvent conseillé mais je ne le trouve pas super.

Merci d'avance

Calcul différentiel