Tribu Borélienne

[Cryptocatron-11]

Bonsoir,

Avant de commencer, j'informe que je ne fais pas des études de mathématiques (je fais de la physique). Je ne dispose donc pas de toutes les connaissances mathématiques nécessaire sur la théorie de l'intégration et de la mesure.

1) Soit l'ensemble des nombres réels R : On considère l'algèbre de Boole qui contient tous les intervalles du type

où

Il est dit que cette algèbre engendre une tribu très importante appelée tribu Borélienne.

Pour montrer par exemple que [1;2] appartient à la tribu borélienne, peut on faire l'intersection des deux parties qui nous donne [1;2] ?

2) Aussi, J'ai lu la définition d'une algèbre de Boole F. Mais pour une tribu il est rajouté que si la propriété : reste vraie pour tout ensemble dénombrable des alors F est une tribu.
Est-ce que la tribu est plus générale qu'une algèbre de Boole ? Je ne vois pas trop la différence entre une algèbre de Boole et une tribu. Si quelqu'un a un exemple sous la main ...

3) Une dernière requête:
Apparemment, il existe des sous ensemble de R formés d'une réunion non dénombrable d'éléments x, ayant cependant une mesure nulle. Toutes les parties de tels ensembles n'appartiennent pas à la tribu borélienne (je ne comprends absolument pas ces 2 phrases).
On peut ainsi compléter la tribu de Borel incluant toutes les parties de mesure nulle. On engendre ainsi une nouvelle tribu appelée tribu de Lebesgue.
Alors là ... vu qu'il n'y a pas d'exemple, c'est dur à interpréter. J'ai peur de faire de mauvaises interprétations.

Un grand merci d'avance
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[Seirios]

Bonsoir,

1) Soit l'ensemble des nombres réels R : On considère l'algèbre de Boole qui contient tous les intervalles du type

où

Il est dit que cette algèbre engendre une tribu très importante appelée tribu Borélienne.

Pour montrer par exemple que [1;2] appartient à la tribu borélienne, peut on faire l'intersection des deux parties qui nous donne [1;2] ?

Il te reste encore à prouver que est dans la tribu. En fait, tu peux montrer facilement que est dans la tribu, il te suffit donc de montrer que {1} est également un élément de la tribu.

Plus généralement, tout singleton appartient à la tribu. Un indice : approximer par des rationnels. À noter qu'ici la stabilité par union dénombrable est primordiale, je ne pense pas que les singletons appartiennent à l'algèbre de Boole.

2) Aussi, J'ai lu la définition d'une algèbre de Boole F. Mais pour une tribu il est rajouté que si la propriété : reste vraie pour tout ensemble dénombrable des alors F est une tribu.
Est-ce que la tribu est plus générale qu'une algèbre de Boole ? Je ne vois pas trop la différence entre une algèbre de Boole et une tribu. Si quelqu'un a un exemple sous la main ...

C'est plutôt l'inverse : une tribu est une algèbre de Boole, mais pas nécessairement l'inverse. Tu peux par exemple regarder ton premier exemple et comparer l'algèbre engendré et la tribu engendrée.

3) Une dernière requête:
Apparemment, il existe des sous ensemble de R formés d'une réunion non dénombrable d'éléments x, ayant cependant une mesure nulle. Toutes les parties de tels ensembles n'appartiennent pas à la tribu borélienne (je ne comprends absolument pas ces 2 phrases).

Pour la première phrase, elle doit vouloir dire qu'il existe des parties indénombrables de IR qui sont de mesure nulle ; par exemple l'ensemble de Cantor. Pour la seconde phrase, je vois pas vraiment ce qu'elle veut dire (ou en tout cas, telle que je la comprends, elle est fausse...).

On peut ainsi compléter la tribu de Borel incluant toutes les parties de mesure nulle. On engendre ainsi une nouvelle tribu appelée tribu de Lebesgue.
Alors là ... vu qu'il n'y a pas d'exemple, c'est dur à interpréter. J'ai peur de faire de mauvaises interprétations.

Tu devrais regarder ceci : Complétion d'une mesure.

[Cryptocatron-11]

C'est plutôt l'inverse : une tribu est une algèbre de Boole, mais pas nécessairement l'inverse. Tu peux par exemple regarder ton premier exemple et comparer l'algèbre engendré et la tribu engendrée.

La différence se fait au niveau de la famille de parties incluse dans la structure (algèbre de Boole ou Tribu)
Lorsqu'on prend une famille de parties appartenant à l'algèbre de Boole, il faut qu'elle aussi soit finit par union.
En revanche, pour une tribu, on peut prendre une famille incluse dans la tribu et ayant une infinité de parties mais qui restent à union dénombrable
Non ?

[Seirios]

Je ne comprends pas vraiment la question... Qu'entends-tu par finie par union et à union dénombrable ?

[A voir en vidéo sur Futura]