Etude de fonction

[Maestre]

Bonjour,

Alors voila, je suis en train de faire mon DM de maths
et je bloque sur un petit point concernant l'étude des variations de ma fonction

J'étudie la fonction f(x) = ln (x+1)/ ln x

Mon domaine de définition est ]0;1[U]1;+ inf

J'obtiens comme dérivée : (1/ln²x) * ( (ln x)/(1+x) - ( ln(1+x)/x )

en ]0;1[ :

ln x<0 et 1+x>0
ln(1+x)>0 et x>0

donc ln(1+x)/x <0 et -(ln x)/(1+x)<0

et 1/ln²x >0

donc ma fonction est strictement décroissante pour tout x de ]0;1[

Cependant, le même raisonnement sur ]1;+ inf me pose problème

Merci de votre aide !
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[gg0]

Bonsoir.

La méthode habituelle est de factoriser la dérivée, donc ici de réduire au même dénominateur. Tu vas être amené à étudier le signe de xln(x)-(x+1)ln(x+1), qui est bien négatif entre 0 et 1, mais demande une étude spécifique (variations, ...) pour trouver son signe.

Bon travail !

[Maestre]

Entre 0 et 1, je trouve bien un signe négatif ! Mon problème c'est entre ]1;+ inf
Que veut dire "étude spécifique ?

[gg0]

Une étude de cette nouvelle fonction.
Je sais que ton problème c'est après 1, je sais lire ! Je te donne une méthode, si tu ne veux pas l'utiliser, fais ce que veux !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Maestre]

Je viens de faire l'étude de la nouvelle fonction et j'obtiens :

f(x) = x[ln x - ln(1 + x)] - ln(1 + x) / x(ln² x)(1+x)

donc 1/x(ln² x)(1+x) > 0

avec : -ln(1+x)<0
et x[ln x - ln(1 + x)] <0

car ln x < ln(1 + x)
e(ln x) < e(ln(1 + x))
x < x+1

donc ma fonction est strictement décroissante pour tout x de ]1;+inf

Est-ce bien ça ?

[gg0]

Oui, ça marche.

Sauf que :
"car ln x < ln(1 + x)
e(ln x) < e(ln(1 + x))
x < x+1"
est rédigé à l'envers : la fait que la fin soit juste ne permet pas d'affirmer que le début l'est :
2=3
donc 3=2
en additionnant membre à membre :
2+3=3+2
5=5
Ce qui ne prouve pas que 2=3.

Mais ln étant croissante, de x<x+1 on tire ln(x)<ln(x+1).

Cordialement.

[Maestre]

Je comprend la subtilité !
Merci beaucoup de votre aide

Cordialement.