Marche aléatoire en dimension arbitraire, chaines de Markov

[arbolis87]

Bonjour tout le monde,
Je suis bloqué sur l'exercice suivant:
Soit un marcheur qui peut se déplacer seulement a des sites voisins distant d'une meme distance, dans une dimension arbitraire D. On assume que le marcheur a une probabilité égale de visiter l'un des sites voisins. Soit un site quelconque et N le nombre de "sauts" ou "pas" que le marcheur a fait.
1)Quelle est la probabilité de trouver le marcheur en au bout de N pas s'il part initialement de l'origine?
2)Calculer la valeur moyenne et la variance.
3)Comment les résultats précédents sont modifiés s'il y a une ou plusieurs directions privilégiés?
Résolvez le probleme de deux manieres différentes et montrez qu'elles sont équivalentes.
a)En supposant que la marche aléatoire est décrite par une chaine de Markov en D dimensions.
b)En calculant la fonction distribution du déplacement du marcheur apres N pas indépendents, .
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Ce que j'ai pensé jusqu'a présent:
Je considere le cas de la chaine de Markov, a).
On me donne l'information , autrement dit, la probabilité de trouver le marcheur a l'origine apres 0 pas est de 1. On me demande de trouver .
La probabilité que le marcheur visite un site particulier adjacent au sien est de ou D est le nombre de dimension(s) spatiales.
Vu que c'est un processus de Markov, on a autrement dit le présent du processus ne dépend que de l'instant qui vient de se passer et non de tous les autres. J'imagine que je dois utiliser cette information mais je ne vois pas comment.
Je sais que et en général que .
Mais je ne vois pas le moyen de calculer . Avez-vous des idées?
Merci d'avance.

Note: veut dire, la position du marcheur apres N-1 pas. En général, veut dire, la position du marcheur apres N-s pas.
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