Aide, polynome non constants de C[X] divisibles par leur polynome dérivé.

[loupixx]

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour cette démonstration
soient m un complexe non nul et a un complexe. Posons P(X)=m(X-a)^n (n≥1)
Montrer que P' divise P
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[loupixx]

On a donc P' = m*n(X-a)^(n-1) si P'|P il existe Q de K[X] tel que P=Q*P'
c'est a dire, m(X-a)^n = Q* m*n(X-a)^(n-1) j'arrive à Q= (X-a)/n
je ne sais pas si c'est le résultat attendu, ni comment l'interpréter..

[Amanuensis]

Collision...

Qu'est-ce qui vous fait douter ?

[loupixx]

Je ne saurai dire..
Lorsqu'on a un polymone de dégré n, divisible par son polynome dérivé P' on peut montrer qu'il existe deux complexe j et k tels que P=(jX + k)P'. Je n'arrive pas à faire le lien avec ce qui précède.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Est-ce que (X - a)/n ne serait pas de la forme que vous attendez ?

[loupixx]

D'apres mon calcul précédent, P= (X - a)/n * P' Par identification j'aurai donc que j=1/n et que k= -a/n .(a est complexe) Mais j ne serait pas complexe ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

tu fais une grave confusion de termes... complexe regroupe réel, 1 est complexe tout autant que i.

[loupixx]

Merci de votre réponse,
Comment faire alors pour calculer j en comparant les coefficients dominants, à premiere vue j'aurais déduit j=1/n mais ce n'est pas ça.

[Médiat]

j=1/n mais ce n'est pas ça.

Qu'est-ce qui peut bien vous pousser à penser que ce n'est pas correct ?

[loupixx]

Parce que c'est une simple déduction des relations P= (X - a)/n * P' et P=(jX + k)P', or on me demande de faire un calcul et je vois la chose un peu trop simple de dire que j vaut 1/n
De plus il faut procéder en comparant les coefficients dominants, je ne vois pas comment faire

[loupixx]

En réalité c'était bien ça, il suffisait je pense de dire que Q étant de dégré 1 pouvait s'écrire sous la forme (jX + k)
Pouvez vous svp m'aider pour montrer que quelque soit k appartenant a N, on a (n-k)P(dérivé k-ième) = (X-a)P(dérivé k+1-ième) ?

*** Pas d'adresse mail en public ***

[gg0]

Pas pour tout k, car si k>n, la dérive est la fonction nulle et il y a un cas où ma formule est fausse.

Exprime la dérivée k-ième, c'et facile...

[loupixx]

P(dérivé kième) = [P(dérivé k-1-ième)]' Par récurrence je sais pas si cela nous arrange

[loupixx]

Ou vaut-il mieux faire une récurrence ?

[gg0]

Et si tu faisais ton exercice ????

[loupixx]

Si je demande de l'aide c'est que je n'y arrive pas, ce n'est pas "évident" pour moi et ma finalité est bien de comprendre et non de bacler l'exercice donc ça serait bien de ne pas me manquer de respect. Merci

[gg0]

Oui,

mais tant que tu ne te lances pas dans le calcul des dérivées, ton exercice n'avance pas ! Tu ne crois quand même pas qu'on va travailler, nous, alors que c'est ton exercice ! Pour l'instant, tu fainéantes en attendant que quelqu'un fasse le travail.
L'aide tu l'as eue, largement, sur ce sujet ou sur l'autre, y compris des explications dont tu n'aurais pas eu besoin si tu avais fait le calcul jusqu'au bout. fais ton travail !

Nb : Ce n'est "évident" pour personne, on n'a jamais fait ton exercice, mais on réfléchit. Et ça ne sera jamais évident pour celui qui ne fait rien.