resolution d'equation aux ondes par la separation des variables

[frankcity]

bonjour,
j'aimerais que vous m' aidiez l'equation aux ondes suivant en utilisant la methode de separation des variables.l'equation est:
d(carre)U/dtcarre =1/c(carre) d(carre)U/dtcarre .
les conditions aux limites sont U(0,t)=0 et U(L,t)=0
les conditions initiales sont U(x,0)=f(x) du/dt (u) a t=0 est g(x)
en effet j'ai commence a resoudre en posant le changement de variable u(x,t) = v(x).w(t) et j'ai obtenu les equation suivantes
v"-kv=0 et w"-c(au carre) kw=0
j'airesolu la premiereequation mais je n'ai pas pu resoudre la secondes fautes de conditions initiales d'ou se trouve mon probleme
en effet d represente la derivee partielle (bienvouloir m'excuser pour la qualite d'ecriture des equations)
j'aimerais que vous m'aidiez a resoudre l'equation w"-c(au carre) kw=0 dans le cadre de cet exercice.
merci d'avance
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[phys4]

Bonjour, il y a une petite erreur dans cette équation, elle n'implique pas d'erreur ensuite, c'est donc une faute d'inattention

.l'equation est:
d(carre)U/dtcarre =1/c(carre) d(carre)U/dtcarre .

Les deux équations obtenues en v et w sont similaires et ont des solutions générales similaires.
Les conditions initiales devraient suffire en gardant des fonctions implicites f(x) et g(x).

les conditions aux limites sont U(0,t)=0 et U(L,t)=0
les conditions initiales sont U(x,0)=f(x) du/dt (u) a t=0 est g(x)
en effet j'ai commence a résoudre en posant le changement de variable u(x,t) = v(x).w(t) et j'ai obtenu les équations suivantes
v"-kv=0 et w"-c(au carre) kw=0
j'ai résolu la première équation mais je n'ai pas pu résoudre la secondes fautes de conditions initiales d’où se trouve mon problème

Vous remarquerez qu'une onde progressive n'existe que si k est négatif.

[frankcity]

salut,
En effet pour résoudre la première équation J’ai utiliser utilisé les conditions au limites U(0,t)=0 et U(L,t)=0 et j’ ai obtenu v(o)=0 et v(L)=0
En essayant de faire de même pour la deuxièmeéquation, j’ai eu U(x,0)=f(x) =) v(x)w(0)=0 et la deuxième condition du/dt (u) a t=0 est g(x) nous donne v(x)w’(o)=g(x).
De ses deux relation je n’arrive pas a ressortir une équation du même genre que ci-dessus cet a dire du genre w(a)=b et w(c)=d. D’où je suis bloqué. J’aimerais que tu m’aide à utiliser ses relations initiales.

[phys4]

Je reviens après une courte absence :

Pour la simplification des équations, il vaut mieux écrire les équations sous la forme :


Il faut considérer une constante négative pour avoir les deux annulations données en x = 0 et x = L

L'équation en v donne la solution générale v = A cos(kx) + B sin(kx)
et les conditions initiales imposent v = B sin(kx) avec

Pour l'équation en w, nous aurons également :
w = C cos(kct) + D sin(kct)

U(x,0) = f(x) = BC sin(kx)
dU/dt(x,0) = g(x) = BD kc sin(kx)

Les fonctions f(x) et g(x) doivent donc être proportionnelles, et leur rapport impose celui des constantes C et D.

Avec tout cela, vous devez pouvoir prendre la suite du problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[frankcity]

j'ai compris, merci pour votre aide.

[phys4]

Bonne chance à vous, je ne connais pas les questions suivantes du problème, mais il est loin d'être terminé.

Il ne faudrait pas en conclure que f(x) et g(x) sont de simples fonctions trigonométriques. Les seules conditions sont qu'elles doivent être continues et la compatibilité des conditions aux limites implique que f(0) = g(0) = f(L) = g(L) = 0
Comme il existe une infinité de valeurs de k possibles, la solution la plus générale est une série de Fourier.

La résolution serait beaucoup plus simple sans séparation des variables, en effet la solution générale s'écrit :
U(x,t) = U₊(x - ct) + U_-(x + ct) avec U₊ et U_- fonctions d'une seule variable.

On obtient ainsi les solutions :
2 U₊ = f(x) - g(x)/c et 2 U_- = f(x) + g(x)/c

Je ne sais si votre problème impose de retrouver cela avec les séries ?

[frankcity]

l'esprit de l'exercice ne l'imposait pas ,mais vu que nous somme sur le chapitre portant sur les series de fourrier il est benefique pour poi de continuer l'exo
je vais essayer de continuer avec les indices que vous m'avez donner et je reviendrai si je rencontre un probleme
merci beaucoup

[frankcity]

Bonjour,
SVP j’ai eu de la peine a resoudre deux autre equations d’onde et j’aimerais que vous m’aidiez encore

1) La premiere est (équation de Schrödinger) i du/dt – d(carre)U/dx(carre) i étant un complexe en posant le changement de variable U(x,t)=v(x)w(t) on obtient v’’/v =i w’/w =-k
J’ai resolu v’’+kv=0 mais concernant i w’/w =-k je n’ai pas pu le faire.d’ou je suis bloqué

2) La deuxieme est une equation a derivee partielle de premier ordre l’equation est
du/dt+(racine de 3) du/dx +ku avec u(x,o)=sin(x carre) k est une costante
ici j’ait effectue le changement de variable U(t,x)=w(f,g) avec f=t+ +(racine de 3) x et g=(racine de 3)t –x apresdevellopement j’ai eudw/df +k/4 w=0 en resolvant cette equation j’ai eu w(f)=y e(-kf/4) « y étant une constante et e represente ici exponentielle)
en effet a ce niveau je suis bloque car en remplacent u(x,o)=sin(x carre) dans w cela ne me permet pas de trouver la constante y mais plutôt un y fonction de x d’où je suis bloque.

[phys4]

1) La premiere est (équation de Schrödinger) i du/dt – d(carre)U/dx(carre) i étant un complexe en posant le changement de variable U(x,t)=v(x)w(t) on obtient v’’/v =i w’/w =-k
J’ai resolu v’’+kv=0 mais concernant i w’/w =-k je n’ai pas pu le faire.d’ou je suis bloqué

Bonjour,
L'équation en w s'écrit donc i dw/wdt = -k
C'est une équation du premier ordre simple qui se tranforme en dw/w = ik dt
L'intégration donne donc
ln(w) = ik (t - t0)
et donc w = exp(ik(t-t0))
Comme toute équation du premier ordre, elle donne une exponentielle.

2) La deuxieme est une equation a derivee partielle de premier ordre l’equation est
du/dt+(racine de 3) du/dx +ku avec u(x,o)=sin(x carre) k est une costante
ici j’ait effectue le changement de variable U(t,x)=w(f,g) avec f=t+ +(racine de 3) x et g=(racine de 3)t –x apresdevellopement j’ai eudw/df +k/4 w=0 en resolvant cette equation j’ai eu w(f)=y e(-kf/4) « y étant une constante et e represente ici exponentielle)
en effet a ce niveau je suis bloque car en remplacent u(x,o)=sin(x carre) dans w cela ne me permet pas de trouver la constante y mais plutôt un y fonction de x d’où je suis bloque.

Je suis presque aussi bloqué que vous, pourquoi ce changement de variables? est-il conseillé ?
Je préférerais, la séparation de variables simples, qui donnera deux exponentielles complexes, et nous pouvons identifier une exponentielle et une fonction trigonométrique.
Je ne comprends pas la condition initiale : est ce ou

[frankcity]

bonjour,
la condition initiale est la premiere
concernant le changement de varibles, j'ai pris u(x,t) = v(x).w(t) mais je suis bloque a cause du terme ku