Bonjour,
je cale sur une démonstration à propos des formes quadratiques.
Je vous livre l'énoncé et mes difficultés. Je vous remercie par avance de l'aide que vous pourrez m'offrir.
Soit K un corps dans lequel 2 = 1 + 1 ̸= 0. Soit E un K-e. v. Soit ϕ ∈ Q(E) une forme
quadratique non dégénérée et non définie. On note f la forme polaire de ϕ. L'objectif de cet exercice est
de montrer que ϕ : E → K est surjective.
0) Soient u, v ∈ E et a, b ∈ K. Exprimer ϕ(au+bv) comme combinaison linéaire de ϕ(u), f(u, v) et ϕ(v).
1) Soit C(ϕ) le cône isotrope de ϕ. Montrer qu'il existe x ∈ C(ϕ)\{0}.
2) Montrer qu'il existe z ∈ E tel que f(x, z) = 1.
3) On considère w = z − (1/2)ϕ(z)x ∈ E. Montrer que w ∈ C(ϕ) et calculer f(x,w).
4) Soit a ∈ K. Calculer ϕ(x + (a/2)w).
5) Montrer que ϕ est surjective.
Q 0) Je sais que ϕ(u+v) = ϕ(u) + ϕ(v) + 2f(u,v) et que ϕ(au) = a2ϕ(u), mais je ne parviens pas à exprimer ϕ(au+bv)
La suite n'en est que plus obscure.
Merci de m'aider à démarrer.
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