serie numerique

[frankcity]

bonsoir,
svp j'aimerais que vous m'aidiez a resoudre cet exercice dont voici l'enonce
on considere la suite de terme general
Un=ln(n) + tln(n+2)+kln(n+3) t et k sont sont des reels non nul
1)etudier suivant les valeurs de t et k la serie numerique de terme general Un
2)lorsque cette serie converge, determiner sa somme

je sais bien que pour la premiere question on demande les conditions de convergences et de divergence
pour calculer la limite en l'infini , j'ai premierement pour faciliter les calcul fait le devellopement limite a l'ordre 2 de la fonction ln. mais apres je ne sais comment continuer ,d'ou je suis bloquer.
svp je ne sais pas s'il etait neccesaire de proceder a un devellopement limite au prealable
merci de m'aider
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[indian58]

tu cherches un equivalent et tu regardes a quelles conditions la série associée diverge/converge.

[frankcity]

Svp je ne comprend pas ce que vous voulez dire par "chercher un equivalent"

[Experimentum]

Pour que ta série soit convergente, il faut que la lim_n→∞ U - n = 0 . Sans trop développer, tu devrais obtenir, (t + k + 1 = 0) et (t + 2k = 0) donc t = -2 et k = 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[indian58]

Svp je ne comprend pas ce que vous voulez dire par "chercher un equivalent"

Tu cherches un équivalent de Un pour n->infini. Tu es en spé, non?

[frankcity]

salut ,
svp je ne comprend pas pourquoi vous choisissez de calculer la limite de U-n je m'attendais a ce qu'on calcule uniquement la limite de Un en l'infini
et meme quand je cacule limn→∞ U =0 je trouve uniquement l'equation t+k+1=0

[frankcity]

bonsoir indian58,
svp pouvez vous m'expliciter votre raisonnement

[ericcc]

salut ,
svp je ne comprend pas pourquoi vous choisissez de calculer la limite de U-n je m'attendais a ce qu'on calcule uniquement la limite de Un en l'infini
et meme quand je cacule limn→∞ U =0 je trouve uniquement l'equation t+k+1=0

Pour que ta série converge, il ne suffit pas que le terme général tende vers zéro...

[frankcity]

ok mais j'ais des difficultes a calculer cette limite
pour ce calcul j'ai fait un devellopement limite a l'ordre 2 et j'ai obtenu Un= (t + k + 1)lnn +t(2/n +2/ncarre)+k(3/n -9/ncarre)
ce qui veu dire que U-n=ok mais j'ais des difficultes a calculer cette limite
pour ce calcul j'ai fait un devellopement limite a l'ordre 2 et j'ai obtenu Un= (t + k + 1)lnn +t(2/n +2/ncarre)+k(3/n -9/ncarre)
ce qui veu dire que U-n=(t + k + 1)lnn +t(2/n +2/ncarre)+k(3/n -9/ncarre)-n
quand je calcule cette limite j'ai (t + k + 1)lnn-n=0

[ericcc]

Je ne comprends rien à ce que tu écris ? De quelle limite parles tu ? Pourquoi calculer Un-n ?

Pour savoir si une série converge, tu calcules un équivalent de ton terme général. Ce que tu as fait en faisant un DL à l'ordre 2.

Maintenant si tes termes en 1/n ne sont pas nuls, ta série va-t-elle converger ?

[frankcity]

en effet j'ai calculer la limite en l'infini ( limn→∞ Un-n =0) les termes en 1/n et 1/ncarre se sont annule et ils reste
(t + k + 1)lnn-n
je ne sait pas s'il s'agit de trouver les conditions qui verifient t et k dans (t + k + 1)lnn-n=0 tel que la suite converge
si tel est le cas comment resoudre cet equation.je suis bloque a ce niveau

[ericcc]

Tu n'as pas lu mon message. Il n'y a aucune raison de calculer Un - n ni de chercher sa limite.

[Médiat]

Bonjour,

Si vous écriviez une bonne fois pour toutes U_n = ln(n)(1 + t + k) + (Votre équivalent), les choses seraient beaucoup plus claires pour vous.

Le message #4 contient plusieurs erreurs (entre autres, comme vous l'a écrit ericcc plusieurs fois, le calcul de U_n-n ne sert à rien).

[breukin]

Je pense que c'était un tiret et non un moins, et que le tiret était à la place du underscore (U_n), qui permet l'indicage en Latex...
Car si c'était un moins, que voudrait bien dire U tout seul ?

[frankcity]

ok j'avais oublier qu'il s'agit des sommes .je crois avoir compris
pour que Un converge, il faut que (1+t+k)lnn=0 ainsi que les termes en 1/n car ses suites divergent
merci pour votre aide

[frankcity]

salut je bloque a la question 2
doit t on remplacer t et k dans les conditions initiale? j'ai remplace et j'ai obtenu cette somme qui vaut S=ln(2/9)
ou bien doit t'on remplacer uniquement dans le terme en 1/ncarre? en procedant ainsi je trouve S= -3 * somme des 1/ncarre( que je n'arrive pas a calculer sachant qu'elle vaut picarre/6)
svp quel est le raisonnement a suivre?

[ericcc]

Il faudrait que tu détailles tes calculs pour que l'on t'aide.

Cependant tu commets une erreur magistrale : les termes en 1/n² résultent d'un développement limité, ils ne représentent pas la somme S. Regarde lieux ce que tu écris.

[frankcity]

j'ai oublie de preciser que t= -3 et k=2

[frankcity]

bonsoir je n'avais pas lu votre message comme elle etait en page 2
voici comment j'ai raisonner
on a maintenant Un=lnn-3ln(n+2)+2ln(n+3)=lnn-2ln(n+2)-ln(n+1)-ln(n+2)+2ln(n+3)-ln(n+1)
Un =ln(n(n+1)/(n+2)au carre) +ln((n+1)(n+2)/(n+3)au carre
on a Vn=ln(n(n+1)/(n+2)au carre et Vn+1=ln((n+1)(n+2)/(n+3)au carre
on Vn+1-Vn=Vp+1 -V1 avec p etant le dernier terme et V1=ln(2/9) or Un= -Vp+1 +V1
donc Un= -ln((p+1)(p+2)/(p+3)au carre + V1
pour vous dire vrai je ne sais comment calculer la somme de Un (tout en esperant que c'est ce qu'il fallait faire)

[frankcity]

en fait je veux dire comment sommer l'expression -ln((p+1)(p+2)/(p+3)au carre + V1

[ericcc]

J'ai l'impression que tu as (mal) recopié une solution.
Alors je te mets sur la voie : c'est effectivement une bonne idée de faire intervenir le ln(n+1) car on cherche à faire apparaître une série téléscopique.

On a Un=ln(n)-3ln(n+2)+2ln(n+3)=ln(n)-2ln(n+2)+ln(n+1)-ln(n+1)+2ln(n+3)-ln(n+2)=[ln(n)-2ln(n+2)+ln(n+1)]-[ln(n+1)-2ln(n+3)+ln(n+2)]

Pose Vn=ln(n)-2ln(n+2)+ln(n+1), que constates tu ?

[frankcity]

je constate que la suite comporte des parametres croisants: n,n+1 et n+2

[ericcc]

Regarde mieux le lien entre Un et Vn...et l'idée de la série téléscopique

[frankcity]

ca m'echappe

[ericcc]

Que vaut Vn+1 ?

[frankcity]

Vn+1=ln(n+1)-2ln(n+3)+ln(n+2)

[frankcity]

svp on continu comment?

[Médiat]

En relisant les messages 21 et 23 : la réponse y est en clair !

[breukin]

Et ici, il ne faut pas penser, il faut écrire et voir.
Il faut écrire U1 = avec la formule en #21 en conservant bien les crochets
puis il faut écrire U2 en dessous avec la formule
puis il faut écrire U3 en dessous avec la formule
puis il faut écrire U4 en dessous avec la formule
puis il faut regarder ce qui se passe en ajoutant

Le passage avec Vn ne sert qu'à soulager l'écriture et la vision.